湖北省部分重点中学2022-2023学年高二上学期数学1月期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若直线 $l$ 的一个方向向量是 $(\sqrt{3} ， 1)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 掷两枚质地均匀的骰子，设 $A =$ “第一枚出现奇数点”， $B =$ “第二枚出现偶数点”，则 $A$ 与 $B$ 的关系为（）．

A、互斥 B、互为对立 C、相互独立 D、相等

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3. 袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“灵､秀､湖､北”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“湖”､“北”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用 $0 ､ 1 ､ 2 ､ 3$ 分别代表“灵､秀､湖､北”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：
$\begin{array}{l} 232 & 321 & 230 & 023 & 123 & 021 & 132 & 203 & 001 \\ 231 & 130 & 133 & 231 & 031 & 320 & 122 & 103 & 233 \end{array}$
由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{9}$

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4. 如图，在四面体OABC中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{O E} = \frac{1}{2} \vec{E A} ， \vec{B F} = \frac{1}{4} \vec{B C}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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5. $P A ， P B ， P C$ 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 $60 °$ ，那么直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，一条平行于 $y$ 轴的光线从点 $M (1 ， 4)$ 射出，经过抛物线上的点 $A$ 反射后，再经抛物线上的另一点 $B$ 射出，则经点 $B$ 反射后的反射光线必过点（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 4)$ C、 $(- 3 ， 6)$ D、 $(- 4 ， 8)$

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7. 已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右两焦点，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线的左右两支分别交于 $P ， Q$ 两点，若 $△ P Q F_{2}$ 是以 $∠ P Q F_{2}$ 为顶角的等腰三角形，其中 $∠ P Q F_{2} \in [\frac{π}{3} ， π)$ ，则双曲线离心率 $e$ 的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{7} ， 3)$ B、 $[1 ， \sqrt{7})$ C、 $[\sqrt{5} ， 3)$ D、 $[\sqrt{5} ， \sqrt{7})$

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8. 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想 $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1 (n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯)$ 是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 $F_{5} = 641 * 6700417$ ，不是质数．现设 $a_{n} =$ $l o g_{2} (F_{n} - 1) ， (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ ， $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．则使不等式 $\frac{2}{S_{1} S_{2}} + \frac{2^{2}}{S_{2} S_{3}} + \dots + \frac{2^{n}}{S_{n} S_{n + 1}} <$ $\frac{2^{n}}{2020}$ 成立的最小正整数n的值是（提示 $2^{10} = 1024$ ）

A、11 B、10 C、9 D、8

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二、多选题

9. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，当首项 $a_{1}$ 和公差 $d$ 变化时， $a_{4} + a_{8} + a_{9}$ 是一个定值，则下列各项中也为定值的是（）

A、 $a_{7}$ B、 $a_{8}$ C、 $S_{13}$ D、 $S_{15}$

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10. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m + n} - \frac{y^{2}}{m - n} = 1$ 的左､右焦点，且焦距为2，则下列结论正确的有（）

A、 $m = 2$ B、当 $n = 0$ 时， $C$ 的离心率是 $\sqrt{2}$ C、 $n$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $F_{1}$ 到渐近线的距离随着 $n$ 的增大而增大

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11. 如图，设 $Q$ 是正方体底面 $A B C D$ 内一动点，若直线 $D_{1} Q$ 与直线 $D_{1} C$ 所成角为 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，则动点 $Q$ 的轨迹可能为（）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

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12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 $A ， B$ 的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (- 4 ， 2) ， B (2 ， 2)$ ，点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = 2$ ，设点 $P$ 的轨迹为圆 $C$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆 $C$ 的方程是 $(x - 8)^{2} + (y - 2)^{2} = 72$ B、过点 $A$ 向圆 $C$ 引切线，两条切线的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、过点 $A$ 作直线 $l$ ，若圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $l$ 距离为2，则该直线斜率为 $\pm \frac{\sqrt{15}}{15}$ D、过直线 $x = - 2$ 上的动点 $D$ 向圆 $C$ 引切线，切点为 $M ， N$ ，则直线 $M N$ 过定点 $(\frac{4}{3} ， 2)$

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三、填空题

13. $\vec{a} = (- 1 ， 0 ， 2)$ 在 $\vec{b} = (1 ， 2 ， 2)$ 方向上的投影向量的坐标为．

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14. 一个机器人一秒前进一步或后退一步，程序员设计的程序是让机器人以“先前进3步，再后退2步”的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正方向在数轴上移动（1步的距离就是1个单位长度），令 $f (n)$ 表示第 $n$ 秒机器人所在的点对应的实数，记 $f (0) = 0$ ，则 $f (2023) =$ ．

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15. 2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员需要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为．

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16. 设点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的动点，点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是直线 $x + 2 y - 8 = 0$ 上的动点，则 $| x_{2} - x_{1} | + | y_{2} - y_{1} |$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = - 2 x$ 上，圆 $C$ 经过点 $A (2 ， - 1)$ 并与直线 $x + y = 1$ 相切．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $y = k x$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $\sqrt{6}$ ，求 $k$ 的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ．

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n}$ ，求证：数列 ${b_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前20项和 $S_{20}$ ．

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19. 如图，已知边长为6的菱形 $A B C D ， ∠ A B C = 12 0^{∘} ， A C$ 与 $B D$ 相交于 $O$ ，将菱形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，使 $B D = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、求平面 $A B D$ 与平面 $B D O$ 的夹角的余弦值；

(2)、在三棱锥 $D - A B C$ 中，设点 $N$ 是 $B D$ 上的一个动点，试确定 $N$ 点的位置，使得 $C N = 4 \sqrt{2}$ ．

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20. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2} ，$ 各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.

(1)、求第4局甲当裁判的概率；

(2)、求前4局中乙恰好当1次裁判概率.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 的首项为1，其前 $n$ 项和 $T_{n}$ 满足 $n T_{n + 1} - (n + 1) T_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，若存在正整数 $n$ 使不等式 $\frac{2 b_{1}}{a_{1}} + \frac{2 b_{2}}{a_{2}} + ⋯ + \frac{2 b_{n}}{a_{n}} \geq m$ 成立，求实数 $m$ 的最大值．

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设 $A ， B$ 是椭圆上的两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求证： $\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}}$ 为定值；反之，若 $\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}}$ 为此定值时， $O A ⊥ O B$ 是否成立？试说明理由．

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