广东省广州市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $y = x + 2023$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 已知圆 $C$ 的方程为 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} - 2 = 0$ ，则圆心 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， 0)$ D、 $(1 ， - 2)$

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{25}{16}$ B、 $\frac{25}{9}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{3}$

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} = 10$ ， $a_{8} = - 20$ ，则公差d等于（）

A、3 B、-6 C、4 D、-3

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5. 已知点 $P (- 2 ， 1)$ 到直线 $l ： 3 x - 4 y + m = 0$ 的距离为1，则 $m$ 的值为（）

A、-5或-15 B、-5或15 C、5或-15 D、5或15

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，公比 $q = 2$ ，且满足 $a_{2} a_{6} = 16$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、8 B、4 C、2 D、1

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7. 如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，H分别为 $C_{1} D_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ ， DE的中点．若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{F H}$ 可用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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8. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $y^{2} = 16 x$ 的焦点重合，过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $A 、 B$ 两点，若 $A B$ 的中点坐标为 $(1 ， - 1)$ ，则椭圆 $E$ 方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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二、多选题

9. 已知非零空间向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b} ， \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、若 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b} (x ， y \in R)$ ，则 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 不共面

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10. 已知点 $P$ 在圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 上，直线 $A B ：$ $y = x + 2$ ，则（）

A、直线 $A B$ 与圆 $C$ 相交 B、直线 $A B$ 与圆 $C$ 相离 C、点 $P$ 到直线 $A B$ 距离最大值为 $2 \sqrt{2} + 2$ D、点 $P$ 到直线 $A B$ 距离最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$

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11. 设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{2} = 6$ ， $a_{5} = 48$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{3} = 9$ B、 $a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ C、 $S_{n} = 3^{n} - 1$ D、 $S_{n} = 3 \cdot (2^{n} - 1)$

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12. 已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点，焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 在 $y$ 轴上，短轴长等于2，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，过焦 $F_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{y^{2}}{3} + x^{2} = 1$ B、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ C、 $| P Q | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $| P F_{2} | = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (- 3 ， 2 ， 5)$ ， $\vec{b} = (1 ， 5 ， - 1)$ ，则向量 $3 \vec{a} - \vec{b}$ 的坐标为.

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14. 古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是.

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 6 x$ ，直线 $l$ 过抛物线的焦点，直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点，弦 $A B$ 长为12，则直线 $l$ 的方程为.

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16. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数 $λ$ （ $λ > 0$ ， $λ \neq 1$ ）的点M的轨迹是圆.若两定点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，动点M满足 $| M A | = \sqrt{2} | M B |$ ，点M的轨迹围成区域的面积为， △ABM面积的最大值为.

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四、解答题

17. 已知圆 $M$ 的圆心为 $(2 ， 3)$ ，且经过点 $C (5 ， - 1)$ .

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l ： 3 x - 4 y + 16 = 0$ 与圆 $M$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $| A B |$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 2 n$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、求证数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列

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19. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为 $A B ， B C$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} F ⊥ C_{1} E$ ；

(2)、求点 $A$ 到平面 $C_{1} E F$ 的距离.

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20. 已知 $A (1 ， 2) ， B (2 ， 4)$ ，且 $C (n ， a_{n}) (n \in N^{*})$ 在直线 $A B$ 上，其中 $a_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 中的第 $n$ 项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 如图， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A P = A D = 2 D E = 2$ .

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求直线 $C P$ 与平面 $D C E$ 所成角的正切值.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $T$ 为椭圆 $C$ 上任意一点， $△ T F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为1.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $A (0 ， 1)$ ，过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，直线 $A M$ ， $A N$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $P$ ， $Q$ ，证明：以 $P Q$ 为直径的圆过定点.

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