北京市石景山区2022-2023学年高二上学期数学期末试题

试卷更新日期：2023-02-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线l的倾斜角为 $120 °$ ，则直线l的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 右支上一点A到右焦点 $F_{1}$ 的距离为3，则点A到左焦点 $F_{2}$ 的距离为（）

A、5 B、6 C、9 D、11

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3. 若 $\vec{a} = (2 ， 3 ， 2) ， \vec{b} = (1 ， 2 ， 2) ， \vec{c} = (- 1 ， 2 ， 2)$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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4. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点Z如图所示，则 $\frac{z}{1 - i} =$ （）

A、 $\frac{- 1 + 3 i}{2}$ B、 $\frac{1 + i}{2}$ C、 $1 + i$ D、 $- 1 + 3 i$

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5. 已知圆 $C_{1}$ 的方程是 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 1 = 0$ ，圆 $C_{2}$ 的方程是 $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内含

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6. 已知 $\vec{m} = (- 2 ， a + b ， a - b) (a ， b \in R)$ 是直线l的方向向量， $\vec{n} = (2 ， - 1 ， 2)$ 是平面 $α$ 的法向量．若 $l ⊥ α$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a - 3 b - 4 = 0$ B、 $a - 3 b - 5 = 0$ C、 $a = - \frac{1}{2} ， b = \frac{3}{2}$ D、 $a = \frac{1}{2} ， b = - \frac{3}{2}$

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7. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C ， A B = A C = 1 ， P A = 2$ ，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， $\vec{n}$ 为平面 $P B C$ 的一个法向量，则 $\vec{n}$ 的坐标可能是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， - \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$

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8. 两条直线 $y = k x (k > 0)$ 和 $y = - k x$ 分别与抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 相交于不同于原点的A、B两点，若直线 $A B$ 经过抛物线的焦点，则 $k =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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9. 设椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 离心率为e，双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线的斜率小于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的离心率e的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{10}}{10} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{10}}{10} ， 1)$ D、 $(\sqrt{5} ， + \infty)$

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10. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D ， A D ⊥ A B ， C D = 1 ， A D = 2 ， A B = 3 ， D D_{1} = 2$ ，点M在该四棱柱表面上运动，且满足平面 $D D_{1} M ⊥$ 平面 $A A_{1} C$ ．当线段 $D M$ 的长度取到最大值时，直线 $D M$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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二、填空题

11. 复数 $z = 3 + i$ 的模长 $| z | =$ ．

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长是1，则点 $A_{1}$ 到平面 $B B_{1} D_{1} D$ 的距离为．

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13. 已知直线 $l_{1} ： (a - 1) x + 2 y + 1 = 0 ， l_{2} ： x + a y + 1 = 0$ ．若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $a =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A (0 ， 3) ， B (- \sqrt{3} ， 0)$ 和 $C (\sqrt{3} ， 0)$ ．则 $△ A B C$ 的外接圆方程为．

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15. 在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为 $(0 ， 2)$ ，点A是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上的一个动点，点B在射线 $A M$ 上，且 $| A B | = 5$ ，当点A在圆O上运动时点B的轨迹记作曲线C．对于曲线C，有下列四个结论：
①曲线C是轴对称图形；

②点 $(0 ， 3)$ 为曲线C的对称中心；

③曲线C与y轴有2个交点；

④曲线C上的点到点M的距离最大值为4．

其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $B (4 ， 2) ， B C$ 边上的高所在的直线方程为 $2 x - y + 3 = 0 ， A C$ 边所在直线方程为 $x + y - 3 = 0$ ．求点A和点C的坐标．

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17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， M、N分别是 $A A_{1} ， B B_{1}$ 的中点， $A B = A A_{1} = 2 ， A C = 1$ ．

(1)、求证： $C_{1} M ⊥ C N$ ；

(2)、求直线 $C N$ 与平面 $B C M$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $B C M$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值．

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18. 已知椭圆C的两个焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{2} ， 0)$ 和 $F_{2} (\sqrt{2} ， 0)$ ，点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆上．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $M (1 ， 0)$ 作倾斜角为 $\frac{3}{4} π$ 的直线l交椭圆C于A、B两点，求线段 $A B$ 的长度．

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19. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 是直角， $C A = C B = 2 \sqrt{2}$ ， $P$ 是斜边 $A B$ 的中点， $M ， N$ 分别是 $P B ， P C$ 的中点．沿中线 $C P$ 将 $△ C A P$ 折起，连接 $A B$ ，点 $Q$ 是线段 $A C$ 上的动点，如图2所示．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角 $Q - M N - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时．求 $\frac{A Q}{A C}$ 的值．
条件①： $B P ⊥ A C$ ；条件②： $A B = A C$ ．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (1 ， 0)$ ，且经过点 $M (0 ， \sqrt{3})$ 和 $N (0 ， - \sqrt{3})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、O为坐标原点，设 $Q (2 ， \sqrt{3})$ ，点P为椭圆C上不同于M、N的一点，直线 $P M$ 与直线 $x = 2$ 交于点A，直线 $P N$ 与x轴交于点B，求证： $△ A M Q$ 和 $△ O B N$ 面积相等．

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