北京市大兴区2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 空间向量 $\vec{O A} - \vec{O B} + \vec{A C} =$ （）

A、 $\vec{A B}$ B、 $\vec{C B}$ C、 $\vec{O C}$ D、 $\vec{B C}$

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2. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y - 3 = 0$ 的半径是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点到准线的距离是（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = - 1$ ， $a_{4} = 1$ ，则其前n项和的最小值为（）

A、 $- 9$ B、 $- 8$ C、 $- 7$ D、 $- 6$

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6. 设 ${a_{n}}$ 是各项不为0的无穷数列，“ $\forall n \in N^{*} ， a_{n + 1}^{2} = a_{n} a_{n + 2}$ ”是“ ${a_{n}}$ 为等比数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点P在椭圆C上， $| P F_{1} | = 4$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A B = B C = \sqrt{5} ， A C = A A_{1} = 2$ ． $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A A_{1} ， A_{1} C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，则直线 $E F$ 与平面 $B C D$ 的位置关系是（）

A、平行 B、垂直 C、直线在平面内 D、相交且不垂直

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9. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．已知 $a_{1} = - 4 ， a_{4} = \frac{1}{2}$ ，则数列 ${S_{n}}$ （）

A、无最大项，有最小项 B、有最大项，无最小项 C、无最大项，无最小项 D、有最大项，有最小项

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10. 已知M是圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $M$ 到直线 $y = k x + 1 (k \in R)$ 距离的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2} + 1$ C、3 D、 $2 \sqrt{2} + 1$

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二、填空题

11. 3与7的等差中项为．

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12. 直线 $y = x + 1$ 关于y轴对称的直线的方程为．

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13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线方程为 $x + 2 y = 0$ ，则 $a =$ ．

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14. 能说明“若等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} < a_{2}$ ，则等比数列 ${a_{n}}$ 是递增数列”是假命题的一个等比数列 ${a_{n}}$ 的通项公式可以是．

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15. 平面内，动点M与点 $F (1 ， 0)$ 的距离和M到直线 $x = - 1$ 的距离的乘积等于2，动点M的轨迹为曲线C．给出下列四个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于x轴对称；
③曲线C与x轴有2个交点；
④点M与点 $F (1 ， 0)$ 的距离都不小于 $\sqrt{3} - 1$ ．
其中所有正确结论的序号为．

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三、解答题

16. 已知点 $A (0 ， 1)$ 和点 $B (2 ， 3)$ 是圆C直径的两个端点．

(1)、求线段 $A B$ 的中点坐标和圆C的方程；

(2)、过点A作圆C的切线l，求切线l的方程．

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17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} + a_{3} = 5$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${b_{n}}$ 是等比数列， $b_{1} = 2 ， b_{3} = 2 b_{2}$ ，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F．

(1)、求F的坐标和抛物线C的准线方程；

(2)、过点F的直线l与抛物线C交于两个不同点A，B，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $| A B |$ 的长．
条件①：直线l的斜率为1；
条件②：线段 $A B$ 的中点为 $M (3 ， 2)$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1 ， A A_{1} = 2$ ， E是棱 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $C_{1} D$ ∥平面 $A B_{1} E$ ；

(2)、求平面 $A B_{1} E$ 与平面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $C_{1}$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $P (2 ， 1)$ ，且 $a = 2 b$ ．

(1)、求椭圆C的方程和离心率；

(2)、设O为原点，直线OP与直线l平行，直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线PM，PN分别与x轴交于点E，F．当E，F都在y轴右侧时，求证： $| O E | + | O F |$ 为定值．

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21. 已知 ${a_{n}}$ 为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得 $a_{i} \leq k ， a_{j} \geq k$ ，其中 $i \leq j$ ．令 $b_{k}$ 为满足 $a_{i} ≤ k$ 的所有i中的最大值， $c_{k}$ 为满足 $a_{j} \geq k$ 的所有j中的最小值．

(1)、若无穷递增数列 ${a_{n}}$ 的前四项是1，2，3，5，求 $b_{4}$ 和 $c_{4}$ 的值；

(2)、若 ${a_{n}}$ 是无穷等比数列， $a_{1} = 1$ ，公比q是大于1的整数， $b_{3} < b_{4} = b_{5} ， c_{3} = c_{4}$ ，求q的值；

(3)、若 ${a_{n}}$ 是无穷等差数列， $a_{1} = 1$ ，公差为 $\frac{1}{m}$ ，其中m为常数，且 $m > 1 ， m \in N^{*}$ ，求证： $b_{1} ， b_{2} ， ⋯ ， b_{k} ， ⋯$ 和 $c_{1} ， c_{2} ， ⋯ ， c_{k} ， ⋯$ 都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．

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