2023年中考数学精选真题实战测试51 圆的基本概念 A

试卷更新日期：2023-02-25 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，CD是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A C D = 40 °$ ，则 $∠ B =$ （）

A、70° B、60° C、50° D、40°

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2. 如图，⊙ $O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A C$ 是⊙ $O$ 的直径，点P在⊙ $O$ 上，若 $∠ A C B = 40 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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3. 如图，AB，CD是 $⊙ O$ 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 $∠ P = 30 °$ ， $∠ A O C = 80 °$ ，则 $\overset{⌢}{B D}$ 的度数是（）

A、30° B、25° C、20° D、10°

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4. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，以 $A B$ 为直径的圆经过点 $C$ ， $D$ ，则 $c o s ∠ A D C$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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5. 如图，已知 $∠ A B C = 60 °$ ，点 $D$ 为 $B A$ 边上一点， $B D = 10$ ，点 $O$ 为线段 $B D$ 的中点，以点 $O$ 为圆心，线段 $O B$ 长为半径作弧，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，则 $B E$ 的长是（）

A、5 B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{5}$

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6. 如图， $A B ， C D$ 是 $⊙ O$ 的两条直径，E是劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接 $B C$ ， $D E$ ．若 $∠ A B C = 22 °$ ，则 $∠ C D E$ 的度数为（）

A、 $22 °$ B、 $32 °$ C、 $34 °$ D、 $44 °$

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7. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，且 $A B = A C ， ∠ B A C = 36 °$ ，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接 $B D ， A D$ ，则 $∠ B A D + ∠ A B D$ 的度数是（）

A、60° B、62° C、72° D、73°

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8. 如图， $⊙ O$ 是等边 $△ A B C$ 的外接圆，点 $D$ 是弧 $A C$ 上一动点（不与 $A$ ， $C$ 重合），下列结论：① $∠ A D B = ∠ B D C$ ；② $D A = D C$ ；③当 $D B$ 最长时， $D B = 2 D C$ ；④ $D A + D C = D B$ ，其中一定正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， AD是 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ B = 20 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数是（）

A、60° B、65° C、70° D、75°

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $O B$ ， $O D$ ， $B D$ ，若 $∠ C = 110 °$ ，则 $∠ O B D =$ （）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，在 $⊙ O$ 中，半径 $O C$ 垂直弦 $A B$ 于点 $D$ ，若 $O B = 10$ ， $A B = 16$ ，则 $c o s B =$ ．

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12. 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为．（结果保留 $π$ ）

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13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为．

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14. 如图，A、B、C是 $⊙ O$ 上的点， $O C ⊥ A B$ ，垂足为点D，且D为OC的中点，若 $O A = 7$ ，则BC的长为.

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15. 如图，在 $⊙ O$ 中，AB是 $⊙ O$ 的弦， $⊙ O$ 的半径为3cm，C为 $⊙ O$ 上一点， $∠ A C B = 60 °$ ，则AB的长为cm．

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16. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若 $∠ B A C = 28 °$ ，则 $∠ D =$ °

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点， $∠ C A B = ∠ D B A$ ，连结BC，CD．

(1)、求证： $C D ∥ A B$ ．

(2)、若 $A B = 4$ ， $∠ A C D = 30 °$ ，求阴影部分的面积．

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18. 牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．

(1)、科考队测量出月亮洞的洞宽 $C D$ 约是28m，洞高 $A B$ 约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径 $O C$ 的长（结果精确到0.1m）；

(2)、若 $∠ C O D = 162 °$ ，点 $M$ 在 $\overset{⌢}{C D}$ 上，求 $∠ C M D$ 的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点 $M$ 在洞顶 $\overset{⌢}{C D}$ 上巡视时总能看清洞口 $C D$ 的情况．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的⊙ $O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，交线段 $C A$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求证： $B D = C D$ ；

(2)、若 $t a n C = \frac{1}{2}$ ， $B D = 4$ ，求 $A E$ ．

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20. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．

(1)、若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；

(2)、若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．

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21. 如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F.

(1)、求证：AB=CB；

(2)、若AB=18，sinA= $\frac{1}{3}$ ，求EF的长.

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22.

(1)、请在图中作出 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A E$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $B$ 是 $\overset{⌢}{C E}$ 的中点，过点 $B$ 的切线与 $A C$ 的延长线交于点 $D$ .
①求证： $B D ⊥ A D$ ；
②若 $A C = 6$ ， $t a n ∠ A B C = \frac{3}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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23. （现有若干张相同的半圆形纸片，点 $O$ 是圆心，直径 $A B$ 的长是 $12 c m$ ， $C$ 是半圆弧上的一点（点 $C$ 与点 $A$ 、 $B$ 不重合），连接 $A C$ 、 $B C$ .

(1)、沿 $A C$ 、 $B C$ 剪下 $△ A B C$ ，则 $△ A B C$ 是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；

(2)、分别取半圆弧上的点 $E$ 、 $F$ 和直径 $A B$ 上的点 $G$ 、 $H$ .已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为 $6 c m$ 的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；

(3)、经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点 $C$ ，一定存在线段 $A C$ 上的点 $M$ 、线段 $B C$ 上的点 $N$ 和直径 $A B$ 上的点 $P$ 、 $Q$ ，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为 $4 c m$ 的菱形.小明的猜想是否正确？请说明理由.

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24. 综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1，在线段 $A C$ 同侧有两点B，D，连接 $A D$ ， $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ，如果 $∠ B = ∠ D$ ，那么A，B，C，D四点在同一个圆上.

探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的 $⊙ O$ ，在劣弧 $A C$ 上取一点E（不与A，C重合），连接 $A E$ ， $C E$ 则 $∠ A E C + ∠ D = 180 °$ （依据1）

$∵ ∠ B = ∠ D$

$∴ ∠ A E C + ∠ B = 180 °$

$∴$ 点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

$∴$ 点B，D在点A，C，E所确定的 $⊙ O$ 上（依据2）

$∴$ 点A，B，C，E四点在同一个圆上

(1)、反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：；依据2：.

(2)、图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = 45 °$ ，则 $∠ 4$ 的度数为.

(3)、展探究：如图4，已知 $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ，点D在 $B C$ 上（不与 $B C$ 的中点重合），连接 $A D$ .作点C关于 $A D$ 的对称点E，连接 $E B$ 并延长交 $A D$ 的延长线于F，连接 $A E$ ， $D E$ .

①求证：A，D，B，E四点共圆；

②若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D \cdot A F$ 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.

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