2023年中考数学精选真题实战测试48 图形的相似 B

试卷更新日期：2023-02-25 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ， $\frac{A B}{D E} = \frac{1}{2}$ ，若 $B C = 2$ ，则 $E F =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、16

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2. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若 $\frac{A D}{B D}$ ＝ $\frac{2}{1}$ ，那么 $\frac{D E}{B C}$ ＝（　　）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. △ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形 DEF ，其最长边为12，则 △DEF的周长是（）

A、54 B、36 C、27 D、21

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4. 如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 是它们的位似中心，且相似比为 1：2，则△ABC 与△DEF 的周长之比是（）

A、1：2 B、1：4 C、1：3 D、1：9

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5. 如图，菱形ABCD中，AB＝2 $\sqrt{3}$ ， ∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上的点， $∠ B = ∠ A C D$ ， $A C ： A B = 1 ： 2$ ，则 $△ A D C$ 与 $△ A C B$ 的周长比是（）

A、 $1 ： \sqrt{2}$ B、 $1 ： 2$ C、 $1 ： 3$ D、 $1 ： 4$

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7. 如图，点 $A (0 ， 3) 、 B (1 ， 0)$ ，将线段 $A B$ 平移得到线段 $D C$ ，若 $∠ A B C = 90 ° ， B C = 2 A B$ ，则点D的坐标是（）

A、 $(7 ， 2)$ B、 $(7 ， 5)$ C、 $(5 ， 6)$ D、 $(6 ， 5)$

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8. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B < A C$ ，将 $△ A B C$ 以点 $A$ 为中心逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ .下列结论：① $△ A F E ∼ △ D F C$ ；② $D A$ 平分 $∠ B D E$ ；③ $∠ C D F = ∠ B A D$ ，其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E， $A F ⊥ x$ 轴，垂足为F．若 $O E = 3$ ， $E F = 1$ ．以下结论正确的个数是（）
① $O A = 3 A F$ ；②AE平分 $∠ O A F$ ；③点C的坐标为 $(- 4 ， - \sqrt{2})$ ；④ $B D = 6 \sqrt{3}$ ；⑤矩形ABCD的面积为 $24 \sqrt{2}$ ．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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10. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿着 $G E$ 、 $E C$ 、 $G F$ 翻折，使得点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 恰好都落在点 $O$ 处，且点 $G$ 、 $O$ 、 $C$ 在同一条直线上，同时点 $E$ 、 $O$ 、 $F$ 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① $G F ∥ E C$ ；② $A B = \frac{4 \sqrt{3}}{5} A D$ ；③ $G E = \sqrt{6} D F$ ；④ $O C = 2 \sqrt{2} O F$ ；⑤ $△ C O F ∽ △ C E G$ .

其中正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①④⑤ D、②③④

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 与 $△ O C D$ 位似，位似中心是坐标原点O．若点 $A (4 ， 0)$ ，点 $C (2 ， 0)$ ，则 $△ O A B$ 与 $△ O C D$ 周长的比值是．

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 的中点，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F．若 $A B = 6$ ，则 $△ A E F$ 的面积为．

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13. 如图，已知等腰 $△ A B C$ 的顶角 $∠ B A C$ 的大小为 $θ$ ，点D为边 $B C$ 上的动点（与 $B$ 、 $C$ 不重合），将 $A D$ 绕点A沿顺时针方向旋转 $θ$ 角度时点 $D$ 落在 $D^{'}$ 处，连接 $B D^{'}$ .给出下列结论：① $△ A C D ≅ △ A B D^{'}$ ；② $△ A C B ∼ △ A D D^{'}$ ；③当 $B D = C D$ 时， $△ A D D^{'}$ 的面积取得最小值.其中正确的结论有（填结论对应的序号）.

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14. 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=cm．

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15. 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $A B$ 的中点， $C E$ ， $B D$ 交于点 $H$ ， $D F ⊥ C E$ 于点 $F$ ， $F M$ 平分 $∠ D F E$ ，分别交 $A D$ ， $B D$ 于点 $M$ ， $G$ ，延长 $M F$ 交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $B F$ ．下列结论：① $t a n ∠ C D F = \frac{1}{2}$ ；② $S_{△ E B H} ： S_{△ D H F} = 3 ： 4$ ；③ $M G ： G F ： F N = 5 ： 3 ： 2$ ；④ $△ B E F ∽ △ H C D$ ．其中正确的是．（填序号即可）．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， E是边AC上一点，且 $B E = B C$ ，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证： $△ A D E ∽ △ A B C$ ．

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，点E在 $A C$ 的延长线上， $∠ A C D = ∠ A B E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ A E B$ ；

(2)、当 $A B = 6 ， A C = 4$ 时，求 $A E$ 的长．

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19. 如图， $△ O A D$ 为等腰直角三角形，延长 $O A$ 至点B使 $O B = O D$ ，其对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点E.

(1)、求证： $△ O A F ≌ △ D A B$ ；

(2)、求 $\frac{D F}{A F}$ 的值.

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20. 在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线 $A F$ 交 $B C$ 于 $F$ ，延长 $A B$ 到 $E$ 使 $B E = F C$ ， $G$ 是 $A F$ 的中点， $G E$ 交 $B C$ 于 $O$ ，连接 $G D$ .

(1)、当四边形 $A B C D$ 是矩形时，如图，求证：① $G E = G D$ ；② $B O \cdot G D = G O \cdot F C$ .

(2)、当四边形 $A B C D$ 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.

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21. 问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，可证 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D} .$ 小慧的证明思路是：如图2，过点 $C$ 作 $C E / / A B$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，构造相似三角形来证明 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ .

尝试证明：

(1)、请参照小慧提供的思路，利用图2证明： $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ；

(2)、应用拓展：
如图3，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点.连接 $A D$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A D$ 所在直线折叠，点 $C$ 恰好落在边 $A B$ 上的 $E$ 点处.
$①$ 若 $A C = 1$ ， $A B = 2$ ，求 $D E$ 的长；

$②$ 若 $B C = m$ ， $∠ A E D = α$ ，求 $D E$ 的长 $($ 用含 $m$ ， $α$ 的式子表示 $)$ .

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22.

(1)、【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)、【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\frac{B D}{C E}$ 的值．

(3)、【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\frac{A B}{B C}$ ＝ $\frac{A D}{D E}$ ＝ $\frac{3}{4}$ ．连接BD，CE．
①求 $\frac{B D}{C E}$ 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

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23. 问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证 $\frac{A B}{A C}$ ＝ $\frac{B D}{C D}$ .小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明 $\frac{A B}{A C}$ ＝ $\frac{B D}{C D}$ .

(1)、尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明 $\frac{A B}{A C}$ ＝ $\frac{B D}{C D}$ ；

(2)、应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点.连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处.
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；

②若BC＝m，∠AED＝ $α$ ，求DE的长（用含m， $α$ 的式子表示）.

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