2023年中考数学精选真题实战测试47 图形的相似 A

试卷更新日期：2023-02-25 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）

A、5 B、6 C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{17}{3}$

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2. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = \frac{1}{2} x + 1.6$ C、 $y = 2 x + 1.6$ D、 $y = \frac{1800}{x} + 1.6$

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3. 如图，在平面直角坐标系中， $C$ 为 $△ A O B$ 的 $O A$ 边上一点， $A C ： O C = 1 ： 2$ ，过 $C$ 作 $C D ∥ O B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $C$ 、 $D$ 两点纵坐标分别为1、3，则 $B$ 点的纵坐标为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 如图，点D为 $△ A B C$ 边 $A B$ 上任一点， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E，连接 $B E 、 C D$ 相交于点F，则下列等式中不成立的是（）

A、 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{D F}{F C}$ C、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A E}{E C}$ D、 $\frac{E F}{B F} = \frac{A E}{A C}$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上的点， $∠ B = ∠ A C D$ ， $A C ： A B = 1 ： 2$ ，则 $△ A D C$ 与 $△ A C B$ 的周长比是（）

A、 $1 ： \sqrt{2}$ B、 $1 ： 2$ C、 $1 ： 3$ D、 $1 ： 4$

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6. $△ A B C$ 的边上有 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 三点，各点位置如图所示.若 $∠ B = ∠ F A C$ ， $B D = A C$ ， $∠ B D E = ∠ C$ ，则根据图中标示的长度，求四边形 $A D E F$ 与 $△ A B C$ 的面积比为何？（）

A、1：3 B、1：4 C、2：5 D、3：8

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7. 如图，点E在矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，点A恰好落在 $B C$ 边上的点F处，若 $C D = 3 B F$ ， $B E = 4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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8. 如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；

A、①③ B、①②③ C、②③ D、①②④

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A C$ 的中点， $E F // C D$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，如果 $E F = 5.5$ ，那么菱形 $A B C D$ 的周长是（）

A、11 B、22 C、33 D、44

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，将 $△ E D C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 至 $△ H B C$ ，点 $D$ ， $B$ ， $H$ 在同一直线上， $H E$ 与 $A B$ 交于点 $G$ ，延长 $H E$ 与 $C D$ 的延长线交于点 $F$ ， $H B = 2$ ， $H G = 3$ .以下结论：
① $∠ E D C = 135 °$ ；② $E C^{2} = C D \cdot C F$ ；③ $H G = E F$ ；④ $s i n ∠ C E D = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $A B$ 边上，点 $E$ 在 $A C$ 边上，请添加一个条件，使 $△ A D E ∽ △ A B C$ .

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12. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H． $E N = 2$ ， $A B = 4$ ，当点H为GN三等分点时，MD的长为．

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13. 如图， $A B ∥ C D$ ， $A D$ ， $B C$ 相交于点 $E$ ，若 $A E ： D E = 1 ： 2$ ， $A B = 2.5$ ，则 $C D$ 的长为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点F、G在 $B C$ 上，点E、H分别在 $A B$ 、 $A C$ 上，四边形 $E F G H$ 是矩形， $E H = 2 E F ， A D$ 是 $△ A B C$ 的高． $B C = 8 ， A D = 6$ ，那么 $E H$ 的长为．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，若 $A B = 3 ， A C = 5 ， \frac{A F}{F C} = \frac{1}{4}$ ，则 $A E$ 的长为．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 9$ ， $B C = 12$ .在 $R t △ D E F$ 中， $∠ F = 90 °$ ， $D F = 3$ ， $E F = 4$ .用一条始终绷直的弹性染色线连接 $C F$ ， $R t △ D E F$ 从起始位置（点 $D$ 与点 $B$ 重合）平移至终止位置（点 $E$ 与点 $A$ 重合），且斜边 $D E$ 始终在线段 $A B$ 上，则 $R t △ A B C$ 的外部被染色的区域面积是.

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，在 $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中，点 $D$ 、 $D^{'}$ 分别在边 $B C$ 、 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 上，且 $△ A C D ∽ △ A^{'} C^{'} D^{'}$ ，若 ▲ ，则 $△ A B D ∽ △ A^{'} B^{'} D^{'}$ ．请从① $\frac{B D}{C D} = \frac{B^{'} D^{'}}{C^{'} D^{'}}$ ；② $\frac{A B}{C D} = \frac{A^{'} B^{'}}{C^{'} D^{'}}$ ；③ $∠ B A D = ∠ B^{'} A^{'} D^{'}$ 这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．

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18. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：

(1)、∠CAE=∠BAF；

(2)、CF·FQ=AF·BQ

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19. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8 ， A D = 4$ ，点E是 $D C$ 边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作 $A F ⊥ A E$ 交 $C B$ 的延长线于点F，设 $D E = a$ ．

(1)、求 $B F$ 的长（用含a的代数式表示）；

(2)、连接 $E F$ 交 $A B$ 于点G，连接 $G C$ ，当 $G C // A E$ 时，求证：四边形 $A G C E$ 是菱形．

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20. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．

(1)、如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）

(2)、我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度

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21. 如图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、网格中 $△ A B C$ 的形状是；

(2)、在图①中确定一点D，连结 $D B$ 、 $D C$ ，使 $△ D B C$ 与 $△ A B C$ 全等：

(3)、在图②中 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上确定一点E，连结 $A E$ ，使 $△ A B E ∽ △ C B A$ ：

(4)、在图③中 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结 $P Q$ ，使 $△ P B Q ∽ △ A B C$ ，且相似比为1：2．

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22. 如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

(1)、直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；

(2)、若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；

(3)、当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？

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23. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.

(1)、特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC= $\sqrt{2}$ ，分别求出线设BD、CE和DE的长；

(2)、规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；

（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；

(3)、尝试应用：在图③中，延长线设BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S_△_BFC ．

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24. 如图

(1)、如图1，在△ABC中， $∠ A C B = 2 ∠ B$ ，CD平分 $∠ A C B$ ，交AB于点D， $D E$ // $A C$ ，交BC于点E.
①若 $D E = 1$ ， $B D = \frac{3}{2}$ ，求BC的长；

②试探究 $\frac{A B}{A D} - \frac{B E}{D E}$ 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

(2)、如图2， $∠ C B G$ 和 $∠ B C F$ 是△ABC的2个外角， $∠ B C F = 2 ∠ C B G$ ，CD平分 $∠ B C F$ ，交AB的延长线于点D， $D E$ // $A C$ ，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为 $S_{1}$ ，△CDE的面积为 $S_{2}$ ，△BDE的面积为 $S_{3}$ .若 $S_{1} \cdot S_{3} = \frac{9}{16} S_{2}^{2}$ ，求 $\cos ∠ C B D$ 的值.

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