浙江省舟山市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 1$ ， $a_{3} + a_{4} = 5$ ，则 $a_{2022} + a_{2023}$ =（）

A、2022 B、2023 C、4043 D、4044

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2. “ $m = 2$ ”是“直线 $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 一组数据如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，则该组数据的第30百分位数是（）

A、12 B、12.5 C、13 D、13.5

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4. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离是2，则该点到 $y$ 轴的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷.
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5.则甲通过测试的概率为（）

A、0.1 B、0.25 C、0.3 D、0.35

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6. 已知点P在直线 $y = x + 3$ 上， $A (1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ，则 $| P A | + | P B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、5 C、 $\sqrt{42}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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7. 已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点， $\vec{M O} = 3 \vec{O F}$ ，经过M的直线 $l$ 与C的一个交点为N，若△MNF是正三角形，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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8. 已知数列1，1，3，1，3，9，1，3，9，27，……（也可表示为3⁰ ， 3⁰ ， 3¹ ， 3⁰ ， 3¹ ， 3² ， 3⁰ ， 3¹ ， 3² ， 3³ ， ….，3⁰ ， 3¹……3k^-1） $k \in N^{*}$ 若该数列的前n项和为Sn，则满足60≤Sn≤1600的整数n的个数为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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二、多选题

9. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2 m} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的实轴长为2 B、若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m=6 C、若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m=2 D、双曲线C的焦点到渐近线的距离为m

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10. 已知 ${a_{n}}$ 是正项等差数列，首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，且 $a_{1} = d$ ， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和（n∈ $N^{*}$ ），则（）

A、数列 ${S_{n + 1} - S_{n}}$ 是等差数列 B、数列{ $\sqrt{S_{n}}$ }是等差数列 C、数列 ${2^{a_{n}}}$ 是等比数列 D、数列{ $l g a_{n}$ }是等比数列

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $x = t y + m$ 与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则（）

A、若 $m = \frac{p}{2}$ ，则 $y_{1} y_{2} = - p^{2}$ B、若 $m = p$ ，则 $x_{1} x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ C、若 $m = 2 p$ ，则OA⊥OB D、若 $m = 4 p$ ，则 $△$ OAB面积最小值为 $8 \sqrt{2} p^{2}$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，过点 $P (1 ， 1)$ 的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足 $\vec{A P} = λ \vec{P B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若直线AB过右焦点 $F_{2}$ ，则 $λ = 7 \pm 4 \sqrt{3}$ B、若 $λ = 1$ ，则直线AB方程为 $2 x + 3 y - 5 = 0$ C、若 $λ = 2$ ，则直线AB方程为 $3 x + 2 y - 5 = 0$ D、若动点 $Q$ 满足 $\vec{A Q} = - λ \vec{Q B}$ ，则点 $Q$ 的轨迹方程为 $2 x + 3 y - 6 = 0$

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三、填空题

13. 某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，则该电路正常运行的概率为.

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x$ ，则过点 $（ 2 ， - 4 ）$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线有条.

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15. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ （n∈ $N^{*}$ ），若 $t \in Z$ ，则当 $| a_{7} - t |$ 取得最小值时，整数 $t$ 的值为.

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16. 已知曲线C₁方程： $x^{2} + k y^{2} = 1 （ 2 \leq k \leq 3 ）$ ，曲线C₂方程： $t x^{2} + y^{2} = 1 （ 3 \leq t \leq 4 ）$ ，曲线C₃为焦点在x轴上的双曲线，且它的渐近线过C₁与C₂的交点，则曲线C₃的离心率的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{2} x^{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在点 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最值.

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18. 某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户.根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），...，[90，100].

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？

(3)、用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分.

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19. 已知点 $A (1 ， 2)$ ，圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 y + 2 = 0$ .

(1)、若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；

(2)、当 $m = - 2$ 时，过直线 $2 x - y + 3 = 0$ 上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值.

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n + 1}^{2} - a_{n + 1} a_{n} + a_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，记 ${b_{n}}$ 的前项和为 $T_{n}$ ，若 $a_{n} T_{n} + n + (- 1)^{n} \cdot λ a_{n} - 1 > 0$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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21. 已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点坐标为 $F (0 ， \frac{1}{2})$ ，点P为直线 $y = \frac{1}{2} x - 3$ 上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A､B两点，过A､B分别作准线的垂线交抛物线C于点D､E.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、请问直线DE是否过定点，若是求出该定点；若不是，请说明理由.

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22. 在 $△ A_{n} B C$ 中，已知 $B (- \frac{1}{2} ， 0) ， C (\frac{1}{2} ， 0)$ ，记 $b_{n} = | A_{n} C | ， c_{n} = | A_{n} B |$ 且对 $\forall n \in N^{*}$ ，均有 $b_{n + 1} = \frac{c_{n} + 1}{2} ， c_{n + 1} = \frac{b_{n} + 1}{2}$ ，其中 $b_{1} + c_{1} = 2$ 且 $b_{1} > c_{1}$ .

(1)、求点An的轨迹方程；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3)、记 $△ A_{n} B C$ 的面积为 $S_{n}$ ，判断 ${S_{n}}$ 的单调性并给出证明.

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