浙江省绍兴市诸暨市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， A = {x \in N ∣ \frac{3}{x} \in N}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 3}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${0 ， 2 ， 4}$ D、 ${2 ， 4}$

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2. 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、1

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3. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} - x + 1 < 0$ ，那么命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 \geq 0$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R ， x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R ， x^{2} - x + 1 \geq 0$

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4. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图像过点 $(2 ， 4)$ ，若 $\sqrt{f (m)} = 4$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、2 B、 $\pm 2$ C、4 D、 $\pm 4$

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5. 已知 $a = \sqrt{2} ， b = {(\frac{1}{2})}^{- 0.6} ， c = l o g_{2} \sqrt{3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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6. 若 $f (x) ， g (x)$ 分别为定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，且 $f (x) + g (x) = 2^{x}$ ，则 $f (0) + g (1) =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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7. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则“ $l o g_{a} x > l o g_{a} y$ ”是“ $a^{x} > a^{y}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $a ， b \in R$ ， $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a^{2} - 2 a b - 3 b^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a + b$ 有最小值1 B、 $a - b$ 有最小值1 C、 $3 a + 5 b$ 有最小值 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 a - 5 b$ 有最小值 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 下列函数的定义域是 $R$ 的有（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = l g | x |$

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10. 已知角 $α$ 的终边上有一点 $P$ 的坐标是 $(3 a ， 4 | a |)$ ，其中 $a \neq 0$ ，则下列取值有可能的是（）

A、 $s i n α = - \frac{4}{5}$ B、 $c o s α = - \frac{3}{5}$ C、 $s i n α + c o s α = \frac{1}{5}$ D、 $s i n α - c o s α = \frac{1}{5}$

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11. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \frac{3 x + 1}{x - 1} | ， x < 0 \\ 4^{x} - 7 \cdot 2^{x} - 7 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = f (x + \frac{1}{x} - a) - 1$ 的零点情况说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 至少有两个不同的零点 B、当 $a \in [- 1 ， 3)$ 时，函数 $g (x)$ 恰有两个不同的零点 C、函数 $g (x)$ 有三个不同零点时， $a \in {- 5 ， 3}$ D、函数 $g (x)$ 有四个不同零点时， $a \in (3 ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期为2的奇函数，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) + x$ 的值域为 $[0 ， 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{1}{2}$ 对称 C、 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) + x$ 的值域为 $[- 1 ， 1]$ D、 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) + x$ 的值域为 $[0 ， 2]$

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三、填空题

13. $t a n 12 5^{∘} \cdot s i n 27 3^{∘}$ $0$ （填 $> ， <$ ）

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14. 若函数 $f (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} + a x + b)$ ；且 $f (x) = f (4 - x)$ ，则 $a + b =$ .

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15. 函数 $y = \frac{1}{s i n^{2} x} + \frac{4}{c o s^{2} x}$ 的最小值是.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x (x + 1)^{2} + a x}{x + 1}$ ，对任意两个不等实数 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， + ∞)$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17.

(1)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a^{2} + a^{- 2} - 7}{a + a^{- 1} + 3}$ 的值；

(2)、已知 $\frac{2 c o s (- θ) + s i n (π - θ)}{c o s (\frac{π}{2} - θ) + s i n (\frac{3 π}{2} - θ)} = 4$ ，求 $t a n θ$ 的值.

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18. 已知集合 $A = {x ∣ a - 1 \leq x \leq 3 - 2 a} ， B = {x ∣ x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ .

(1)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $x ∈ B$ 是 $x ∈ A$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知 $a ， b \in R^{+}$ ，函数 $f (x) = x + \frac{a}{x - b}$ .

(1)、若 $f (1) = f (2) = 3$ ，求 $f (x)$ ；

(2)、若 $b = 1$ ，当 $x \in [2 ， 3]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值.

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20. 为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为 $x$ 米 $(3 \leq x \leq 6)$ .

(1)、当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；

(2)、现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为 $\frac{1800 a (1 + x)}{x}$ 元 $(a > 0)$ ，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知 $m > 0 ， n > 0 ， 3^{m} + 2^{- n} < 3^{n} + 2^{- m}$ .

(1)、证明： $m < n$ ；

(2)、若函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{x - 4}{x + 4} (a > 0 ， a \neq 1)$ ，当定义域为 $(m ， n)$ 时，值域为 $(1 + l o g_{a} (n - 2) ， 1 + l o g_{a} (m - 2))$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + a x + 1 ， x > 0 \\ x^{2} - a x - 1 ， x < 0 \end{array}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、当 $a = 0$ 时，函数 $g (x) = f (x) - k | x^{2} - 2 x | (k \in R)$ 恰有3个不同的零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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