浙江省绍兴市诸暨市2022-2023学年高三上学期数学1月期末试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $z (1 + i) = 3 - i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $- 3$ B、0 C、4 D、5

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2. 已知集合 $U = {1 ， a^{2} ， 3 a + 1}$ ，集合 $A \subseteq U$ ，且 $∁_{U} A = {1 ， 4}$ ，则 $a =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${\pm 2}$ D、 ${1 ， \pm 2}$

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3. 边长为2的正 $△ A B C$ 中，G为重心，P为线段BC上一动点，则 $\vec{A G} \cdot \vec{A P} =$ （）

A、1 B、2 C、 $(\vec{B G} - \vec{B A}) \cdot (\vec{B A} - \vec{B P})$ D、 $\frac{2}{3} (\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \vec{A P}$

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4. 2022年，考古学家对某一古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的 $57 ． 4 %$ ．若碳14的初始量为k，衰减率为p（ $0 < p < 1$ ），经过x年后，残留量为y满足函数为 $y = k (1 - p)^{x}$ ，已知碳14的半衰期为5730，则可估计该建筑大约是哪一年建成．（参考数据 $l g 0.574 \approx - 0.241 ， l g 2 \approx 0.301$ ）（）

A、公元前1217年 B、公元前1423年 C、公元前2562年 D、公元前2913年

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为左、右焦点，P为曲线C上的动点，若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与x轴交于点 $M (1 ， 0)$ ，则 $| O P |$ 为（）

A、 $\sqrt{19}$ B、 $\sqrt{31}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、6

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) ， (ω > 0)$ 对任意 $x \in (0 ， \frac{3 π}{8})$ 都有 $f (x) > \frac{1}{2}$ ，则当 $ω$ 取到最大值时， $f (x)$ 的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{π}{8} ， 0)$ B、 $(\frac{3 π}{16} ， 0)$ C、 $(\frac{π}{2} ， 0)$ D、 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$

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7. 已知 $a = s i n 0.1 ， b = l n 1.1 ， c = e^{0.1} - 1.005$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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8. 数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的的六位数，A表示事件“1和2相邻”，B表示事件“偶数不相邻”，C表示事件“任何连续两个位置奇偶性都不相同”，D表示事件“奇数按从小到大的顺序排列”．则（）

A、事件A与事件B相互独立 B、事件A与事件C相互独立 C、事件A与事件D相互独立 D、事件B与事件C相互独立

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二、多选题

9. “直线 $l ： y = k x + b$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ 有公共点”的一个充分不必要条件是（）

A、 $b = 1$ B、 $k = 1$ C、 $b^{2} - k^{2} \leq 1$ D、 $b^{2} - 2 k^{2} \leq 2$

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10. 已知 $a ， b \in N^{*}$ ，函数 $f (x) = (1 + x)^{a} + (1 + x)^{b}$ ，其中x的系数为8，则 $x^{2}$ 的系数可能为（）

A、12 B、16 C、24 D、28

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 是抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点， $A ， B$ 是抛物线 $C$ 上两个不同的动点，（）

A、若直线 $A B$ 过点 $F$ ，则 $△ P A B$ 面积最小值为4 B、若直线 $A B$ 过点 $F$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} \geq 0$ C、若直线 $A B$ 过点 $P$ ，则 $| A F | + | B F | < 2 | P F |$ D、若直线 $A B$ 过点 $P$ ，则 $| A F | + | B F | > 2 | P F ∣$

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12. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{^{'}} (x)$ ，若 $f (1) = 1$ ，且 $0 < f^{'} (x) < f (x)$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{2}) > \frac{1}{2}$ B、 $f (2) < 2$ C、 $2 f (- \frac{1}{2}) > f (- \frac{1}{4})$ D、 $f (\frac{1}{2}) f (2) < \frac{2}{\sqrt{e}}$

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三、填空题

13. 设 ${a_{n}}$ 是首项为1的数列，且 $a_{n} a_{n + 1} = 2^{n}$ ，则 $a_{10} =$ ．

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14. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $t a n α = \frac{\sqrt{2} c o s α + 1}{\sqrt{3} - \sqrt{2} s i n α}$ ，则 $s i n α =$ ．

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15. 如图，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，上下底面分别是边长为4，6的正方形，若 $| A A_{1} | \in [\sqrt{3} ， 3 \sqrt{3}]$ ，则该棱台外接球表面积的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{4 x - a}{x^{2} + 1}$ ，若 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，实数m满足 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = - m^{2}$ ，则实数m的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项的和，且 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \sqrt{S_{n + 1}} + \sqrt{S_{n}}$ ．

(1)、求数列 ${S_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (- 1)^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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18. 记锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $△ A B C$ 外接圆的半径为R，已知 $a c o s B - b c o s A = R$ ．

(1)、若 $B = \frac{π}{4}$ ，求A的值；

(2)、求 $\frac{R - c}{b}$ 的取值范围．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为平行四边形， $P A ⊥$ 面ABCD， $A B ⊥ P C$ ， $B C = A P = \sqrt{2} A B = 2$ ．

(1)、求点A到平面PBC的距离；

(2)、求二面角 $C - P D - A$ 的正弦值．

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20. 某课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取了高年级的100名学生某次考试的成绩（满分100分），若按单科85分以上（含85分），则该课成绩为优秀，根据调查成绩得出下面的 $2 \times 2$ 列联表（单位：人）．

数学成绩优秀
数学成绩不优秀
物理成绩优秀
16
14
物理成绩不优秀
20
50

(1)、根据调查所得数据，该课题组至少有多大把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？

(2)、随机从这100名学生中抽取1名学生，在已知该学生“数学成绩优秀”的情况下，求该学生物理成绩不优秀的概率

(3)、随机从这100名学生中抽取2名学生，记2人中数学成绩优秀的人数为x，物理成绩优秀的人数为y，设 $X = x - y$ ，求 $X = 1$ 的概率．
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k)$
0.05
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 2 ， 0) ， B (2 ， 0)$ ，直线PA与直线PB的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ，记动点P的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x + m$ 与曲线C交于M，N两点，直线MA，NB与y轴分别交于E，F两点，若 $\vec{E O} = 3 \vec{O F}$ ，求证：直线l过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = a x e^{a x} - l n x ， a > 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，记 $f (x)$ 的最小值为m，求证： $m > \frac{2}{3} + l n 2$ ．

(2)、方程 $f (x) = a x + b ， b \in R$ 有两个不同的实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = 2$ ，求证： $x_{1} x_{2} < \frac{1}{a^{2} e^{2 a}}$ ．

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	数学成绩优秀	数学成绩不优秀
物理成绩优秀	16	14
物理成绩不优秀	20	50

$P (K^{2} \geq k)$	0.05	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828