浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ y = l o g_{2} x + 1}$ ， $B = {y ∣ y = l o g_{2} x + 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $\emptyset$ D、 $R$

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2. 设复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. “ $r \geq 2$ ”是“圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与圆 $C_{2} ： (x - 3)^{2} + y^{2} = 1$ 有公切线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 康托尔三分集是一种重要的自相似分形集.具体操作如下：将闭区间 $[0 ， 1]$ 均分为三段，去掉中间的区间段 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 $[0 ， \frac{1}{3}] ， [\frac{2}{3} ， 1]$ 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作， $⋯$ ，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集，记为 $P$ .若使留下的各区间长度之和不超过 $\frac{1}{10}$ ，则至少需要操作（）次（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010 ， l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 1) ， \vec{b} = (1 ， - \sqrt{3}) ， \vec{c} = t \vec{a} + \vec{b}$ ，若 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量模长为1，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $\pm 1$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F$ 关于 $y = - \sqrt{3} x$ 对称的点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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7. 已知 $a = \frac{100}{99} ， b = e^{0.01} ， c = 1 + \frac{1}{2} t a n \frac{1}{49}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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8. 在四棱锥 $E - A B C D$ 中，正方形 $A B C D$ 所在平面与 $△ E A B$ 所在平面相互垂直， $A E ⊥ B E ， F$ 为 $E C$ 上一点，且 $B F ⊥ E C ， O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心，四棱锥 $E - A B C D$ 体积的最大值为 $\frac{4}{3}$ ，则三棱锥 $O - B C F$ 的外接球的表面积为（）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、若事件 $M ， N$ 互斥， $P (M) = \frac{1}{2} ， P (N) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (M \cup N) = \frac{5}{6}$ B、若事件 $M ， N$ 相互独立， $P (M) = \frac{1}{2} ， P (N) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (M \cup N) = \frac{2}{3}$ C、若 $P (M) = \frac{1}{2} ， P (\bar{M} ∣ N) = \frac{3}{4} ， P (\bar{M} ∣ \bar{N}) = \frac{3}{8}$ ，则 $P (N) = \frac{1}{3}$ D、若 $P (M) = \frac{1}{2} ， P (\bar{M} ∣ N) = \frac{3}{4} ， P (\bar{M} ∣ \bar{N}) = \frac{3}{8}$ ，则 $P (N ∣ M) = \frac{1}{4}$

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10. 主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为 $y = f (x)$ ，降噪声波曲线函数为 $y = g (x)$ ，已知某噪声的声波曲线 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = - g (x)$ B、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $y = g (x)$ 的单调减区间为 $[\frac{π}{6} + k π ， \frac{3 π}{4} + k π]$ ，（ $k \in Z$ ） D、 $y = f (x)$ 图像可以由 $y = g (x)$ 图像向右平移 $π$ 个单位得到

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11. 已知 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $C ： y^{2} = x$ 上不同于原点 $O$ 的两点，点 $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点，下列说法正确的是（）

A、点 $F$ 的坐标为 $(\frac{1}{2} ， 0)$ B、 $| A B | = x_{1} + x_{2} + \frac{1}{2}$ C、若 $O A ⊥ O B$ ，则直线 $A B$ 经过定点 $(1 ， 0)$ D、若点 $P (- 2 ， 1) ， P A ､ P B$ 为抛物线 $C$ 的两条切线，则直线 $A B$ 的方程为 $x - 2 y - 2 = 0$

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R ， f (1 + x) + f (1 - x) = 2 ， f (x)$ 为奇函数且 $x > 0$ 时 $f^{'} (x) > 0$ ，则（）

A、 $f^{'} (x)$ 为偶函数 B、 $f (8 + x) = f (x)$ C、当 $x ∈ Z$ 时， $f (x) = x$ D、存在实数 $M$ ，使得 $| f (x) - x | \leq M$

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三、填空题

13. 已知tanα＝3，π＜α $＜ \frac{3 π}{2}$ ，则cosα﹣sinα＝．

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14. 若展开式 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{2 x})}^{n}$ 中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为.

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15. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ､ N$ 分别是棱 $A B ､ A D$ 的中点，过 $C_{1}$ 、 $M$ 、 $N$ 的平面 $α$ 把正方体截成两部分体积分别为 $V_{1} ， V_{2} (V_{1} \geq V_{2})$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ .

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16. 设 $a > 0$ ，若函数 $f (x) = e^{2 x} + a - a \sqrt{a e^{x} - a} \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在① $2 a s i n B = b t a n A$ ， ② $c^{2} - a^{2} = b c - b^{2}$ .③ $\sqrt{3} s i n A = 1 + c o s A$ 这三个条件中任选一个，填在以下的横线中，并完成解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且____.

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1$ ，点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ，求线段 $A D$ 长的最小值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 2^{2} a_{3} + \dots + 2^{n - 1} a_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、设 $A_{n}$ 为为数列 ${\frac{a_{n}}{2^{a_{n}}}}$ 的前 $n$ 项和，求大于 $A_{2023}$ 的最小的整数 $k$ .

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19. 从某学校获取了容量为200的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：
数学成绩
语文成绩
合计
不优秀
优秀
不优秀
80
40
120
优秀
40
40
80
合计
120
80
200

(1)、依据 $α = 0.05$ 的独立性检验能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)、从200个样本中任取3个，记这3人中语文数学成绩至少一门优秀的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.
附：
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $C D ∥ A B ， A D = D C = C B = 1 ， A B = 2 ， A C ⊥ P B$

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P B ⊥ B C ， P B = \sqrt{3}$ ，直线 $P D$ 与平面 $P A C$ 所成的角的正弦值.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，右焦点 $F$ 到其中一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过右焦点 $F$ 作直线 $A B$ 交双曲线于 $A ， B$ 两点，过点 $A$ 作直线 $l ： x = \frac{1}{2}$ 的垂线，垂足为 $M$ ，求证直线 $M B$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - λ (x - 1)$ .

(1)、当 $x ≥ 1$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $λ$ 的取值范围；

(2)、函数 $g (x) = f (x) - λ x^{2} + (λ - 1) x$ 有两个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2}$ （其中 $x_{1} < x_{2}$ ），证明： $l n x_{1} + 3 l n x_{2} > 4$ ；

(3)、求证： $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + \dots + \frac{1}{2 n} < l n 2 (n \in N^{*})$ .

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数学成绩	语文成绩		合计
数学成绩	不优秀	优秀	合计
不优秀	80	40	120
优秀	40	40	80
合计	120	80	200

$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$