浙江省宁波市慈溪市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 1 ， \sqrt{3})$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点与双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的其中一个焦点相同，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 已知集合 $A = {x | y = 2 x ， x \in R} ， B = {(x ， y) | y = x + 1 ， x ， y \in R}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = {1 ， 2}$ B、 $A ∩ B = {(1 ， 2)}$ C、 $A = B = R$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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4. 若A，B，C，D，E五人排队照相，则A，B两人不相邻的概率为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5. 若二项式 $(1 + 2 x)^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是（）

A、 $448 x^{3}$ B、 $1120 x^{4}$ C、 $1792 x^{5}$ D、 $1792 x^{6}$

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6. 如图，是某种型号的家用燃气瓶，其盛气部分近似可以看作由一个半球和一个圆柱体组成，设球的半径为R，圆柱体的高为h，若要保持圆柱体的容积为定值 $V = 3 π$ 立方米，则为使制造这种燃气瓶所用材料最省（温馨提示：即由半球和圆柱体组成的几何体表面积最小），此时 $\frac{R}{h} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知 $b s i n (B + C) = a s i n \frac{A + C}{2}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 周长的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $6 + 2 \sqrt{3}$

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8. 若单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = 120 °$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{c} - \vec{a}) ⊥ (\vec{c} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} |_{m a x} =$ （）.

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

9. 设 $a ， β$ 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，（）

A、若 $m ⊥ α ， n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m \subset α ， n \subset α ， m ∥ β ， n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ∥ β ， m \subset α ， n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ ， $m ⊄ α$ ，则 $m ∥ α$

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10. 已知 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $2^{- \sqrt{a}} < 2^{- \sqrt{b}}$ B、 $l o g_{a} \sqrt{2} < l o g_{b} \sqrt{2}$ C、 $\frac{a}{3} + 3 b > 2 \sqrt{a b}$ D、 $a + b > 2 \sqrt{a b}$

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11. 已知 $z_{1} ， z_{2} \in C$ ，且 $| z_{1} | = \sqrt{2} ， | z_{1} + z_{2} | = 10$ ，则（）

A、当 $z_{1} = 1 - i ， z_{2} = x + y i (x ， y \in R)$ 时，必有 $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$ B、复平面内复数 $z_{1}$ 所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为 $\sqrt{2}$ 的圆 C、 ${| z_{1} - i |}_{m i n} = 1 + \sqrt{2}$ D、 ${| \frac{z_{2}}{z_{1}} |}_{m a x} = 1 + 5 \sqrt{2}$

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + {(y - \frac{13}{2})}^{2} = 7$ ，直线： $l ： y = k x + b$ （k，b为常数，且 $k \neq 0$ ）.点 $P (\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，（）

A、若点Q在 $C_{2}$ 上运动，则 $| P Q |$ 的最大值为 $\sqrt{\frac{179 - 26 \sqrt{2}}{4}} + \sqrt{7}$ B、若l与 $C_{1} 、 C_{2}$ 都相切，则这样的l共有4条，且其中一条的方程是 $\sqrt{3} x + 2 y - 4 = 0$ C、若过P点作 $C_{1}$ 的切线，则切线唯一且方程为 $\sqrt{2} x + 2 \sqrt{2} y - 4 = 0$ D、若 $k = 2 ， b \in Z$ ， l与 $C_{1} 、 C_{2}$ 都相交且截得的弦长相等，则 $b = 0$

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系中，已知 $A (- 2 ， 0) ， B (2 ， 0) ， C (0 ， 1)$ 三点，请写出2个函数关系式或曲线的方程，使函数图象或方程的曲线经过A，B，C三点：， .

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14. 已知变量x和y的统计数据如下表：
x
6
7
8
9
10
y
3.5
4
5
5.5
7
如果由表中数据可得经验回归直线方程为 $\hat{y} = 0.85 x + \hat{a}$ ，那么，当 $x = 10$ 时，残差为.（注：残差=观测值-预测值）

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15. 若正数 $α ， β ， γ$ 满足 $α + β + γ = π$ ，且 $s i n α + s i n γ = 2022 s i n β$ ，则 $\frac{c o s^{2} \frac{α}{2} s i n γ + c o s^{2} \frac{γ}{2} s i n α}{s i n (α + γ)}$ 的值为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} - a_{n} = l n \frac{1}{1 + a_{n + 1}}$ ，若 $k \leq a_{n + 1} a_{n} - 4 a_{n + 1} + 2 a_{n} (n \in N^{*})$ 恒成立，则实数k的取值范围是.

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四、解答题

17. 甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相互独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得 $- 1$ 分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的得分记为X，在两轮比赛中的得分为Y.

(1)、若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率；

(2)、求X的分布列；

(3)、求Y的均值.

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18. 在菱形 $A B C D$ 中，G是对角线 $B D$ 上异于端点的一动点（如图1），现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 向上翻折，得三棱锥 $A - B C D$ （如图2）.

(1)、在三棱锥 $A - B C D$ 中，证明： $D G ⊥ A C$ ；

(2)、若菱形 $A B C D$ 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，且 $B G = 2 G D$ ，在三棱锥 $A - B C D$ 中，当 $A C = 3$ 时，求直线 $A G$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值.

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19. 如图， $A B C D$ 是一个边长为 $8 m$ 的有部分腐蚀的正方形铁皮，其中腐蚀部分是一个半径为 $6 m$ 的扇形 $A M N$ ，其他部分完好可利用.铁匠师傅想在未被腐蚀部分截下一个长方形铁皮 $P R C Q$ （ $P$ 是圆弧上的一点），以用于制作其他物品.

(1)、当长方形铁皮 $P R C Q$ 为正方形时，求此时它的面积；

(2)、求长方形铁皮 $P R C Q$ 的面积 $S$ 的最大值.

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20. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}} ， {c_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 1$ ，且 $\frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = \frac{b_{n + 2}}{b_{n}}$ .

(1)、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{n + 1} = a_{n} + c_{n} ， b_{2} = 3$ ，求 $b_{2023}$ 的值，并写出数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；
$\frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}} + \frac{1}{c_{3}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{c_{n}} < \frac{a_{3} - 2}{a_{3} - 3} ， n \in N^{*}$ .

(2)、若 ${b_{n}}$ 是等差数列，公差 $d > 0$ ，且 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，求证：

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21. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 中，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，上顶点为Q，且 $| Q F_{2} | = 2$ ， O为坐标原点.

(1)、求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；

(2)、设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求 $△ P O H$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) - k l n x ， k > 0$ .

(1)、当 $k = 3$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对 $\forall x \in (0 ， 1) ， f (x) < 0$ 恒成立，求k的取值范围；

(3)、求证：对 $\forall x \in (0 ， 1)$ ，不等式 $\frac{e^{x}}{x^{2} + 1} < \frac{x^{2} - 1}{x l n x}$ 恒成立.

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x	6	7	8	9	10
y	3.5	4	5	5.5	7