浙江省金华十校2022-2023学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | y = \sqrt{x - 2}} ， B = {y | y = \sqrt{x - 2}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $\emptyset$

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2. 已知复数 $z_{1} = 2 + b i (b \in R) ， z_{2} = \frac{2}{i}$ （其中i为虚数单位），若 $| z_{1} - z_{2} | = \sqrt{13}$ ，则 $b =$ （）

A、1 B、 $- 5$ C、1或 $- 5$ D、 $- 1$ 或5

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3. 二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、 $- 15$ B、15 C、20 D、 $- 20$

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4. 将函数 $f (x) = c o s (2 x + φ)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到一个奇函数的图象，则 $φ$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记 $A =$ 第一次摸到红球”， $B =$ “第二次摸到红球”，则以下说法正确的是（）

A、 $P (A) + P (B) = P (A ∩ B)$ B、 $P (A) \cdot P (B) = P (A ∪ B)$ C、 $P (A) = P (B)$ D、 $P (A ∪ B) + P (A ∩ B) < 1$

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6. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等” ．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面 $α$ 去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面 $α$ 去截半径为R的半球，且球心到平面 $α$ 的距离为 $\frac{1}{2} R$ ，则平面 $α$ 所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠）的几何体的体积是（）

A、 $\frac{5}{24} π R^{3}$ B、 $\frac{1}{4} π R^{3}$ C、 $\frac{1}{3} π R^{3}$ D、 $\frac{11}{24} π R^{3}$

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7. 已知 $(1 - e^{- a}) (1 + b^{a}) + (1 + e^{- a}) (1 - b^{a}) = 0 ， a > 0 ， \frac{e^{2} + 1}{b e + 1} < a < b$ ，则（）

A、 $b \cdot e^{\frac{1}{a}} > a \cdot e$ B、 $b \cdot e^{\frac{1}{a}} < a \cdot e$ C、 $l o g_{b} a > \frac{b}{a}$ D、 $l o g_{b} a < \frac{b}{a}$

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8. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B P C = \frac{π}{2}$ ．若三棱锥 $P - A B C$ 的外接球体积的取值范围是 $(\frac{8 \sqrt{2} π}{3} ， \frac{32 π}{3})$ ，则 $∠ B A C$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{3})$ B、 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ C、 $(\frac{π}{2} ， \frac{2 π}{3})$ D、 $(\frac{2 π}{3} ， π)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - x (a \in R)$ ，则（）

A、当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值为 $- \frac{2}{3}$ B、若函数 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(1 ， f (1))$ ，则 $a = - 1$ C、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a \geq 1$ 或 $a \leq - 1$ D、函数 $f (x)$ 必有3个零点

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P是正方形 $A B C D$ 内（含边界）的一个动点，则（）

A、存在无数个点P满足 $D_{1} P ⊥ A C$ B、存在无数个点P满足 $B_{1} P / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ C、若直线 $D_{1} P$ 与 $D_{1} D$ 的夹角为 $45 °$ ，则线段 $B P$ 的最小长度为 $\sqrt{2} - 1$ D、当点P在棱 $C D$ 上时， $| P A | + | P B_{1} |$ 的最小值为 $\sqrt{2} + 1$

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11. 如图，已知抛物线 $Γ ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， M为x轴正半轴上一点， $\vec{O N} = λ \vec{O M} (λ > 0 ， λ \neq 1)$ ，过M的直线交 $Γ$ 于B，C两点，直线 $C N$ 交抛物线另一点于D，直线 $B N$ 交抛物线另一点于A，且点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， C (x_{2} ， y_{2})$ 在第一象限，则（）

A、 $\frac{y_{1}}{y_{2}} = λ$ B、 $\frac{x_{1}}{x_{2}} = λ$ C、 $\frac{| A D |}{| B C |} = λ$ D、 $\frac{S_{△ A D N}}{S_{△ B C N}} = λ^{2}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ．若 $g (x + 3)$ 为偶函数， $f (3) = 2 ， f (5) = 5$ ，且 $g (x) < 2 f (x) + 4$ ，则不等式 $f (l n x) - \frac{x^{2}}{e^{2}} + 2 > 0$ 的正整数解以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} (- 1 ， 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n (x + 1) ， 0 \leq x < 1 \\ l n x + 1 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (x) \leq k x$ 恒成立，则k的最小值是．

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15. 矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ， $A D$ 的中点为M，折叠矩形使得A落在边 $C D$ 上，则点M到折痕的距离的取值范围是．

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16. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ ，过椭圆左焦点F任作一条弦 $P Q$ （不与长轴重合），点A，B是椭圆的左右顶点，设直线 $A P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} + \frac{1}{k_{2}^{2}}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = m (m \in N^{*})$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ，当 a_{n} 为偶数 \\ 3 a_{n} + 1 ，当 a_{n} 为奇数 \end{array}$ .

(1)、 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 32$ ，求 $S_{30}$ ；

(2)、若 $a_{6} = 1$ ，求m所有可能取值的和．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $C D = 2 A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = B C = 1$ ， $P A = P B = 2$ ．

(1)、若平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A D$ ，求点P到平面 $A B C D$ 的距离；

(2)、若平面 $P B C ∩$ 平面 $P A D = l$ ， $l ∩$ 平面 $A B C D = Q$ ，且 $P Q = \sqrt{2}$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值．

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19. 在 $△ A B C$ ，角A，B，C所对应的边是a，b，c，满足 $\frac{c}{a} = 2 c o s 2 A + 1$ ，且 $B \neq 2 A$ ．

(1)、求证： $3 A = C$ ；

(2)、若C为钝角，D为边 $A C$ 上的点，满足 $\frac{A D}{C D} = 4 c o s^{2} A - 1$ ，求 $\frac{B D}{C D}$ 的取值范围．

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20. 第二十二届世界杯足球赛，即2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Qatar.2022）足球赛，于当地时间11月20日19时（北京时间11月21日0时）至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行，赛程28天，共有32支参赛球队，64场比赛．它是首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、首次由从未进过世界杯决赛圈的国家举办的世界杯足球赛．某高校为增进师生对世界杯足球赛的了解，组织了一次知识竞赛，在收回的所有竞赛试卷中，抽取了100份试卷进行调查，根据这100份试卷的成绩（满分100分），得到如下频数分布表：
成绩（分）
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100]$
频数
2
5
15
40
30
8
参考数据：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ； $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ； $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

(1)、求这100份试卷成绩的平均数；

(2)、假设此次知识竞赛成绩X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ．其中， $μ$ 近似为样本平均数， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ．已知s的近似值为5.5，以样本估计总体，假设有 $84.135 %$ 的学生的知识竞赛成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？

(3)、知识竞赛中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为 $\frac{3}{10}$ ，选择两个选项的概率为 $\frac{1}{2}$ ，选择三个选项的概率为 $\frac{1}{5}$ ．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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21. 已知点 $A (\frac{4 \sqrt{6}}{3} ， \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点，B与A关于原点对称，F是右焦点， $∠ A F B = \frac{π}{2}$ ．

(1)、求双曲线的方程；

(2)、已知圆心在y轴上的圆C经过点 $P (- 4 ， 0)$ ，与双曲线的右支交于点M，N，且直线 $M N$ 经过F，求圆C的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = s i n x - (x + 2) e^{- x}$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上有2个零点；

(2)、若函数 $g (x) = a x + s i n x - f (x) (a \in R)$ 有两个极值点： $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．求证： $0 < x_{1} + x_{2} < \frac{2 - 2 a}{a}$ （其中 $e = 2.71828 ⋯ ⋯$ 为自然对数的底数）.

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成绩（分）	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
频数	2	5	15	40	30	8