重庆市2023届高三下学期数学开学摸底试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {x | 0 < x < 5 ， x \in N}$ ， $M = {x | x^{2} - 5 x + 6 = 0}$ ，则 $∁_{U} M =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${1 ， 5}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 5}$

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2. 复数z在复平面内对应的点的坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，则 $\bar{z} \cdot i =$ （）

A、 $- 2 + i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $2 - i$

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3. 函数 $f (x) = \frac{s i n (π x)}{e^{x} + e^{- x}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是直角三角形，且 $A B = B C = A A_{1}$ ， $D$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $E$ 在棱 $B C$ 上，且 $B C = 4 B E$ ，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{34}}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{34}}{34}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} < 0 ， S_{9} = S_{16}$ ，则（）

A、 $d < 0$ B、 $S_{n}$ 的最小值为 $S_{25}$ C、 $a_{13} = 0$ D、满足 $S_{n} > 0$ 的最大自然数 $n$ 的值为25

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6. 从编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为（）

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x - \frac{1}{x} ， x > 0 \\ x^{2} + 2 x ， x \leq 0 \end{array}$ ，则函数 $y = f [f (x) + 1]$ 的零点个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 已知两条直线 $l_{1} ： 2 x - 3 y + 2 = 0$ ， $l_{2} ： 3 x - 2 y + 3 = 0$ ，有一动圆（圆心和半径都在变动）与 $l_{1} ， l_{2}$ 都相交，并且 $l_{1} ， l_{2}$ 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（）

A、 ${(y - 1)}^{2} - x^{2} = 65$ B、 $x^{2} - {(y - 1)}^{2} = 65$ C、 $y^{2} - {(x + 1)}^{2} = 65$ D、 ${(x + 1)}^{2} - y^{2} = 65$

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二、多选题

9. 下列命题中，正确的命题是（）

A、数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的 $70 %$ 分位数是7 B、若随机变量 $X ~ B (6 ， \frac{1}{3})$ ，则 $D (X) = \frac{4}{9}$ C、若事件A，B满足 $P (A \bar{B}) = P (A) \cdot [1 - P (B)]$ ，则A与B独立 D、若随机变量 $X ~ N (2 ， σ^{2})$ ， $P (X > 1) = 0.68$ ，则 $P (2 \leq X < 3) = 0.18$

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10. 已知函数 $f (x) = c o s (2 ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $g (0) = 0$ B、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 单调递增 C、 $g (x)$ 的图象关于 $x = - \frac{π}{4}$ 对称 D、 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上的最大值是1

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（）

A、若O为线段 $P Q$ 中点，则 $| P F | = 2$ B、若 $| P F | = 4$ ，则 $| O P | = 2 \sqrt{5}$ C、存在直线l，使得 $P F ⊥ Q F$ D、△PFO面积的最小值为2

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12. 定义：在区间 $I$ 上，若函数 $y = f (x)$ 是减函数，且 $y = x f (x)$ 是增函数，则称 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上是“弱减函数”.根据定义可得（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是“弱减函数” B、 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ 在 $(1 ， 2)$ 上是“弱减函数” C、若 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ 在 $(m ， + \infty)$ 上是“弱减函数”，则 $m \geq e$ D、若 $f (x) = c o s x + k x^{2}$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是“弱减函数”，则 $\frac{2}{3 π} \leq k \leq \frac{1}{π}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{m} = (λ ， 2) (λ \in R)$ ， $\vec{n} = (- 3 ， 3)$ ，若 $\vec{n} ⊥ (\vec{m} + 3 \vec{n})$ ，则实数 $λ =$ ．

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14. 将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有 $n$ 种不同的放法，则在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数为．

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15. 《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以 $S$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜； $h_{a} ， h_{b} ， h_{c}$ 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} \times c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}}] = \frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} b h_{b} = \frac{1}{2} c h_{c}$ ．若在 $△ A B C$ 中 $h_{a} = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ ， $h_{b} = \frac{20 \sqrt{3}}{7}$ ， $h_{c} = 4 \sqrt{3}$ ，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为．

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16. 定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”.已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点， $A B = C D = 2 \sqrt{3}$ ，则AB，CD的“伴随球”的直径取值范围为；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为.

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四、解答题

17. 如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 a - c = 2 b c o s C$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、已知 $b = 3$ ，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ， $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n} + 1} = 1$ ．

(1)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，证明： ${b_{n}}$ 是等差数列；

(2)、设数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ．

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19. 如图1，在平面四边形 $P D B C$ 中， $P D$ ∥ $B C$ ， $B A ⊥ A D ， P A = A B = 1 ， A D = \frac{1}{2}$ ，将 $△ P A B$ 沿 $B A$ 翻折到 $△ S A B$ 的位置，使得平面 $S A B$ ⊥平面 $A B C D$ ，如图2所示.

(1)、设平面 $S D C$ 与平面 $S A B$ 的交线为 $l$ ，求证： $B C ⊥ l$ ；

(2)、在线段 $S C$ 上是否存在一点 $Q$ （点 $Q$ 不与端点重合），使得二面角 $Q - B D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，请说明理由.

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20. 某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中： $100 \leq m \leq 400$ ），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值m
150≤m<350
100≤m<150或350≤m≤400
等级
A级
B级

(1)、根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的 $60 %$ 分位数；

(2)、从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(3)、该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.

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21. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，点 $T (1 ， \frac{1}{4})$ 在E上．

(1)、求 $| T F |$ ；

(2)、O为坐标原点，E上两点A、B处的切线交于点P，P在直线 $y = - 2$ 上，PA、PB分别交x轴于M、N两点，记 $△ O A B$ 和 $△ P M N$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．试探究： $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{a x^{2}}{e^{x}}$ ， $a \neq 0$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ ， $a > 0$ 时， $e^{x} f (x) \geq b x$ ，证明： $a b \leq \frac{2 e^{3}}{27}$ ．

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质量指标值m	150≤m<350	100≤m<150或350≤m≤400
等级	A级	B级