浙江省温州市2023届高三下学期数学返校统一测试试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} = 1$ ”的否定形式是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x \neq 1$ 或 $x \neq - 1$ B、 $\exists x \in R$ ， $x \neq 1$ 且 $x \neq - 1$ C、 $\forall x \in R$ ， $x \neq 1$ 或 $x \neq - 1$ D、 $\forall x \in R$ ， $x \neq 1$ 且 $x \neq - 1$

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2. 已知 $x \in C$ ，下列选项中不是方程 $x^{3} = 1$ 的根的是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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3. A，B是 $⊙ C$ 上两点， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4$ ，则弦 $A B$ 的长度是（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、不能确定

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4. 通过长期数据研究某人驾驶汽车的习惯，发现其行车速度v（公里/小时）与行驶地区的人口密度ρ（人/平方公里）有如下关系： $v = 50 \cdot (0.4 + e^{- 0.00004 p})$ ，如果他在人口密度为 $a$ 的地区行车时速度为65公里/小时，那么他在人口密度为 $\frac{a}{2}$ 的地区行车时速度约是（）

A、69.4公里/小时 B、67.4公里/小时 C、62.5公里/小时 D、60.5公里/小时

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5. $(x^{2} - x + 1) {(1 + x)}^{9}$ 展开式中含 $x^{5}$ 的系数是（）

A、28 B、 $- 28$ C、84 D、 $- 84$

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6. 某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为 $ξ$ ，当 $E (ξ) = 10$ 时，10名人员均为阴性的概率为（）

A、0.01 B、0.02 C、0.1 D、0.2

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7. 下列实数中，最小的是（）

A、 $s i n^{2} 0.1$ B、 $s i n 0 . 1^{2}$ C、 $t a n^{2} 0.1$ D、 $t a n 0 . 1^{2}$

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8. 直线l与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若 $O A ⊥ O B$ ，且 $| A C |$ ， $| C D |$ ， $| D B |$ 成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{10}}{2} ， + \infty)$ B、 $[2 \sqrt{2} ， \sqrt{10}]$ C、 $[\frac{\sqrt{10}}{2} ， 2 \sqrt{3}]$ D、 $[\sqrt{10} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ ，则（）

A、若 $ω = 1$ ，则 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 B、若 $ω = 2$ ，则 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有2个极值点 C、若 $ω = 3$ ，则 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{15} ， 0)$ 中心对称 D、若 $f (x + 6 π) = f (x)$ ，则 $ω$ 的最大值为 $\frac{1}{3}$

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10. 《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织 $4000$ 名大一新生进行体质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为 $[70 ， 75)$ ， $[75 ， 80)$ ， $[80 ， 85)$ ， $[85 ， 90)$ ， $[90 ， 95)$ ， $[95 ， 100)$ ．则下列说法正确的是（）

A、估计该样本的众数是 $87.5$ B、估计该样本的均值是 $80$ C、估计该样本的中位数是 $86$ D、若测试成绩达到 $85$ 分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为 $2200$ 人

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11. 如图， $A B C D$ 为等腰梯形， $A B ∥ C D$ ，且 $A D = D C = C B = \frac{1}{2} A B = 2$ ， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 均垂直于平面 $A B C D$ ． $D D_{1} = B B_{1} = C C_{1} - A A_{1} = 2$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $∠ A_{1} D_{1} B_{1} = 90 °$ B、 $∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ 有可能等于 $90 °$ C、 $∠ D_{1} A_{1} B_{1}$ 最大值为 $60 °$ D、 $A A_{1} = \frac{2}{3}$ 时，点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 共面

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12. 已知正m边形 $A_{1} A_{2} \cdot \cdot \cdot A_{m}$ ，一质点M从 $A_{1}$ 点出发，每一步移动均为等可能的到达与其相邻两个顶点之一．经过n次移动，记质点M又回到 $A_{1}$ 点的方式数共有 $a_{n}$ 种，且其概率为 $P_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m = 3$ ，则 $a_{3} = 4$ B、若 $m = 4$ ，则 $a_{2 n} = 2^{2 n - 1}$ C、若 $m = 6$ ，则 $P_{2 k - 1} = 0$ ， $k \in N^{*}$ D、若 $m = 6$ ，则 $P_{6} = \frac{11}{32}$

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三、填空题

13. 若抛物线以坐标轴为对称轴，原点为焦点，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程可以是．（只需填写满足条件的一个方程）

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14. 正四面体 $A B C D$ 棱长为2，E，F，G分别为 $A B$ ， $C D$ ， $A D$ 的中点，过G作平面 $α ⊥ E F$ ，则平面 $α$ 截正四面体 $A B C D$ ，所得截面的面积为．

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15. 由直线构成的集合 $M = {l | l$ 的方程为 $2 t x + (1 - t^{2}) y = 1 + t^{2} ， t \in R}$ ，若 ${l_{1} ， l_{2}} \subseteq M$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为．

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16. 函数 $f (x) = | x - a | + c o s x$ 在 $[0 ， b]$ 上的值域为 $[- 1 ， \frac{3 π}{2}]$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的值为．

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四、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{b c o s C + \sqrt{3} b s i n C}{a + c} = 1$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $a + c = 4 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 内切圆的面积为 $π$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $P B = P A = 4$ ， $P C = \sqrt{6}$ ．

(1)、求 $P D$ 的值；

(2)、若 $\vec{B H} = λ \vec{B P}$ ，是否存在 $λ$ ，使得平面 $C D H ⊥$ 平面 $P A B$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} - n a_{n + 1} + 2 n a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，其中 $b_{n} = {\begin{array}{l} 2 n - 4 ， n = 2 k - 1 \\ 4 - n ， n = 2 k \end{array} (k \in N^{*})$ ， ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ ．

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20. 中国共产党第二十次全国代表大会报告指出：坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战，加强污染物协同控制，基本消除重污染天气、每年的《中国生态环境状态公报》都会公布全国339个地级及以上城市空气质量检测报告，以下是2017-2021五年339个城市空气质量平均优良天数占比统计表．
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码 $x_{i}$
1
2
3
4
5
百分比 $y_{i}$
78
79.3
82
87
87.5
并计算得： $\sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 34321.74$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 1268.1$ ．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $82.7 6^{2} \approx 6849.22$ ， $\sqrt{756.4} \approx 27.5$ ．

(1)、求2017年—2021年年份代码与339个城市空气质量平均优良天数的百分比的样本相关系数（精确到0.01）；

(2)、请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程（精确到0.01）和预测2022年（ $x = 6$ ）的空气质量优良天数的百分比；

(3)、试判断用所求回归方程是否可预测2026年（ $x = 10$ ）的空气质量优良天数的百分比，并说明理由．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

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21. 如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的圆与y轴正半轴交于点 $A (0 ， y_{1})$ ，经过点 $B (3 ， 0)$ 且与x轴垂直的直线l与直线 $A P$ 交于点Q．

(1)、求证： $y_{0} y_{1} = 1$ ．

(2)、试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线 $M P$ ， $M Q$ 的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．

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22. 若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象与直线 $x = m$ 分别交于A，B两点，与直线 $x = n$ 分别交于C，D两点 $(m < n)$ ，且直线 $A C$ ， $B D$ 的斜率互为相反数，则称 $f (x)$ ， $g (x)$ 为“ $(m ， n)$ 相关函数”．

(1)、 $f (x)$ ， $g (x)$ 均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数m，n，使得 $f (x)$ ， $g (x)$ 为“ $(m ， n)$ 相关函数”；

(2)、 $f (x) = e^{a x}$ ， $g (x) = a x^{2}$ ，若存在实数 $m n > 0$ ，使得 $f (x)$ ， $g (x)$ 为“ $(m ， n)$ 相关函数”，且 $| A B | = | C D |$ ，求实数a的取值范围．

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年份	2017年	2018年	2019年	2020年	2021年
年份代码 $x_{i}$	1	2	3	4	5
百分比 $y_{i}$	78	79.3	82	87	87.5