山东省济南市2022-2023学年高三下学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = i (1 + i)$ ，其中i是虚数单位，则 $\bar{z}$ 在复平面内所对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x \in N | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 $[0 ， 2]$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $6 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $15 0^{∘}$

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4. “ $x > y$ ”的一个充分条件可以是（）

A、 $2^{x - y} > \frac{1}{2}$ B、 $x^{2} > y^{2}$ C、 $\frac{x}{y} > 1$ D、 $x t^{2} > y t^{2}$

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5. 下图是函数 $f (x)$ 的部分图象，则它的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{x \cdot s i n x}{e^{x} + e^{- x}}$ B、 $f (x) = \frac{x \cdot s i n x}{e^{x} - e^{- x}}$ C、 $f (x) = (1 - \frac{2}{e^{x} + 1}) c o s x$ D、 $f (x) = (e^{x} - e^{- x}) c o s x$

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6. 已知 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3} + c o s α$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} < 0$ 对任意的 $n ∈ N^{∗}$ 恒成立，则 $q$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$

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8. 已知 $a = 6^{l n 5}$ ， $b = 7^{l n 4}$ ， $c = 8^{l n 3}$ ，则（）

A、a＞b＞c B、a＞c＞b C、b＞c＞a D、c＞b＞a

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二、多选题

9. 居家学习期间，某学校发起了“畅读经典，欢度新年”活动，根据统计数据可知，该校共有1200名学生，所有学生每天读书时间均在20分钟到100分钟之间，他们的日阅读时间频率分布直方图如图所示．则下列结论正确的是（）

A、该校学生日阅读时间的众数约为70 B、该校学生日阅读时间不低于60分钟的人数约为360 C、该校学生日阅读时间的第50百分位数约为65 D、该校学生日阅读时间的平均数约为64

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 满足 $f (x) \leq f (\frac{2 π}{3})$ 恒成立，且在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增，则下列说法中正确的是（）

A、 $ω = \frac{1}{2}$ B、 $f (x + \frac{2 π}{3})$ 为偶函数 C、若 $x \in [0 ， π]$ ，则 $f (x) \in [\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ D、将 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可以得到 $g (x) = s i n (x + \frac{π}{6})$ 的图象

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11. 如图所示，抛物线E： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过点 $M (p ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与E分别相交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时， $| A F | = 3$ ．下列结论正确的是（）

A、E的方程为 $y^{2} = 4 x$ B、 $y_{1} y_{2} = - 12$ C、若AD，BC的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} = 3 k_{2}$ D、若AD，BC的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，则 $t a n (α - β)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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12. 在平面四边形ABCD中， $A D ⊥ C D$ ， AD＝CD＝2，AB＝1， $B C = \sqrt{5}$ ，沿AC将 $△ A B C$ 折起，使得点B到达点 $B^{'}$ 的位置，得到三棱锥 $B^{'} - A C D$ ．则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $B^{'} - A C D$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\vec{A C} \cdot \vec{B^{'} D}$ 为定值 C、直线AC与 $B^{'} D$ 所成角的余弦值的取值范围为 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、对任意点 $B^{'}$ ，线段AD上必存在点N，使得 $C N ⊥ B^{'} D$

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三、填空题

13. 为推动黄河流域生态保护和高质量发展，某市环保局派出4个宣传小组，到黄河沿岸5个社区做环保宣讲活动，每个小组至少去1个社区，每个社区只安排1个小组，则不同的安排方法共有种（用数字作答）．

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14. 已知圆锥侧面展开图的周长为 $4 + 2 π$ ，面积为 $2 π$ ，则该圆锥的体积为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + a ， x \leq 0 ， \\ x l n x ， x > 0 ， \end{array}$ 若方程 $f (x) = m (m > 0)$ 有两个不同的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | \leq e$ ，则实数a的取值范围是．

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点，以 $F_{2}$ 为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线 $x - \sqrt{3} y + 8 = 0$ 相切．P为椭圆上一点，I为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，且 $S_{△ I P F_{1}} = λ S_{△ I F_{1} F_{2}} - S_{△ I P F_{2}}$ ，则 $λ$ 的值为．

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四、解答题

17. 甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子．规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束．

(1)、记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；

(2)、已知甲先掷，求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率．

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18. 已知 $△ A B C$ 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $(a + b) (s i n A - s i n B) = b s i n C$ ．

(1)、证明：A＝2B；

(2)、若a＝3，b＝2，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ ，其前n项和记为 $S_{n}$ ，且满足对 $\forall n \in N_{+}$ ，都有 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \frac{1}{a_{3}^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}^{2}}$ ，证明： $T_{n} < \frac{7}{4}$ ．

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $D P = D A = D C = \frac{1}{2} A B$ ．

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A D = A P$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长为2，直线 $y = \sqrt{3} x$ 为 $C$ 的一条渐近线．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $(2 ， 0)$ 的直线与 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $M$ ，使得 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 为定值？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x - l n (1 + x)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数．

(1)、证明： $f^{'} (x)$ 在区间 $(- 1 ， \frac{π}{4})$ 上存在唯一的极大值点；

(2)、讨论 $f (x)$ 零点的个数．

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