山东省2022-2023学年高三下学期数学开学考试联考试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 在复平面内的对应点为 $(2 ， 1)$ ，则 $z + \frac{10}{z} =$ （）

A、 $6 + 3 i$ B、 $6 + i$ C、 $6 - 3 i$ D、 $6 - i$

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2. 设集合 $M = {x \in Z ∣ x^{2} < 100 < 2^{x}}$ ，则 $M$ 的所有子集的个数为（）

A、3 B、4 C、8 D、16

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3. 设随机变量 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，且 $P (X \geq a) = 0.5 ， P (X < b) = 3 P (X \geq b)$ ，则 $P (X \leq 2 a - b) =$ （）

A、 $0.25$ B、 $0.3$ C、 $0.5$ D、 $0.75$

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4. 抛掷一枚质地均匀的骰子3次，则向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{18}$ D、 $\frac{1}{36}$

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5. 已知等边三角形 $A B C$ 的边长为1，动点 $P$ 满足 $| \vec{A P} | = 1$ ．若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的最小值为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、0 D、3

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6. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形 $A B C D$ 是圆 $O$ 的内接四边形，且 $A C = \sqrt{3} B D$ ， $∠ A D C = 2 ∠ B A D$ ．若 $A B \cdot C D + B C \cdot A D = 4 \sqrt{3}$ ，则圆 $O$ 的半径为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，点 $M$ 满足 $\vec{C C_{1}} = 3 \vec{C M}$ ．若在正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 内有一动点 $P$ 满足 $B P / /$ 平面 $A M D_{1}$ ，则动点 $P$ 的轨迹长为（）

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 设 $a = s i n 0.2 ， b = 0.2 c o s 0.1 ， c = 2 s i n 0.1$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 和圆 $P ： x^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $x \pm 2 y = 0$ C、当 $r = \sqrt{6}$ 时，双曲线 $C$ 与圆 $P$ 没有公共点 D、当 $r = 2 \sqrt{2}$ 时，双曲线 $C$ 与圆 $P$ 恰有两个公共点

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10. 已知函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x ， a b \neq 0$ ．若曲线 $y = f (x)$ 经过点 $(- \frac{π}{6} ， 2)$ ，且关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $b = 2 \sqrt{3}$ C、 $f (x)$ 的最大值为2 D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上单调递增

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11. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若对于任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} + \frac{6}{a_{n} + 1} = 4$ ，则（）

A、当 $a_{1} = 1$ 或 $a_{1} = 2$ 时，数列 ${a_{n}}$ 为常数列 B、当 $a_{1} > 2$ 时，数列 ${a_{n}}$ 为递减数列，且 $2 < a_{n} \leq a_{1}$ C、当 $1 < a_{1} < 2$ 时，数列 ${a_{n}}$ 为递增数列 D、当 $0 < a_{1} < 1$ 时，数列 ${a_{n}}$ 为单调数列

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + \frac{1}{2})$ 为奇函数，且对于任意 $x ∈ R$ ，都有 $f (2 - 3 x) = f (3 x)$ ，则（）

A、 $f (x + 1) = f (x)$ B、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (x + 2)$ 为偶函数 D、 $f (x - \frac{1}{2})$ 为奇函数

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三、填空题

13. 写出曲线 $y = x^{3} - 3 x$ 过点 $(2 ， 2)$ 的一条切线方程．

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14. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，直线 $l ： y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$ 交 $C$ 于 $M ， N$ 两点，点 $P (0 ， 3)$ ，则 $△ P M N$ 的周长为．

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15. 设奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ．若当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (\frac{1}{4}) = 2$ ，则不等式 $l g (f (x) + 2) < 0$ 的解集为．

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的体积为6，且 $P A = 2 P B = 3 P C = 6$ ．若该三棱锥的四个顶点都在球 $O$ 的球面上，则三棱锥 $O - A B C$ 的体积为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1 ， a_{1} + a_{2} = a_{3}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2 n - 1$ ，数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{4 n - 3} = b_{2 n - 1} ， c_{4 n - 2} = a_{2 n - 1} ， c_{4 n - 1} = a_{2 n} ， c_{4 n} = b_{2 n}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $4 n + 1$ 项和 $S_{4 n + 1}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点， $∠ C A D = 2 ∠ B A D$ ．

(1)、若 $∠ B A C = \frac{3 π}{4}$ ，求 $\frac{B D}{C D}$ 的值；

(2)、若 $A C = 1$ ，求 $A D$ 的取值范围．

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19. 为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1~4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．

月份	1月份	2月份	3月份	4月份
报名人员数 $x$ /千人	$3.5$	5	$6.5$	7
录用人才数 $y$ /千人	$0.2$	$0.33$	$0.4$	$0.47$

附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} ； \sum_{i = 1}^{4} x_{i}^{2} = 128.5 ， \sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 8.24 .$

(1)、求出y关于x的经验回归方程；

(2)、假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴

（i）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；

（ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为 $p$ ， $3 p - 1$ ．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求 $p$ 的取值范围．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 为等边三角形， $M$ 为 $P A$ 的中点， $P D ⊥ A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明：平面 $M C D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A D / / B C$ ， $A D = 2 B C$ ， $C D = 2 A B$ ，求平面 $M C D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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21. 已知 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $O$ 为坐标原点， $M$ 为 $C$ 的准线 $l$ 上的一点，直线 $M F$ 的斜率为 $- 1 ， △ O F M$ 的面积为1．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 作一条直线 $l^{'}$ ，交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，试问在 $l$ 上是否存在定点 $N$ ，使得直线 $N A$ 与 $N B$ 的斜率之和等于直线 $N F$ 斜率的平方？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = x^{2} - 3 a l n x ， g (x) = 2 a x - a l n x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的最小值相等，求 $a$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = g (x)$ 恰有一个实根，求 $a$ 的值．

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