河南省信阳市2022-2023学年高一下学期数学阶段性测试（开学考）试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | (x - 1) (x + 2) < 0}$ ， $B = {x | l o g_{2} x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 1}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | - 2 < x < 1}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a^{3} > b^{3}$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $α$ 是第二象限角，若 $s i n (α + \frac{3 π}{2}) = \frac{4}{5}$ ，则 $c o s (α + \frac{3 π}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 若 $x \in [1 ， 3)$ ，则 $\frac{4}{x} + \frac{1}{3 - x}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 方程 $l n x = 4 - 2^{x}$ 的解所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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6. 著名画家达·芬奇画完他的《抱银貂的女子》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，最终的答案是这条曲线的方程是双曲余弦函数，其函数表达式为 $c o s h x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，相应的双曲正弦函数表达式为 $s i n h x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .设函数 $f (x) = s i n h x \cdot c o s h x$ ，若实数 $m$ 满足不等式 $f (m - 6) + f (m^{2}) < 0$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (2 ， + \infty)$

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7. 已知 $a = 0 . 4^{2}$ ， $b = 2^{0.4}$ ， $c = l n 6$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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8. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 为奇函数，且在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{2}{3}]$ D、 $[\frac{2}{3} ， 1)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 3 x + c o s 3 x - 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $6 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{9}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{18} ， - 2)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增

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10. 已知函数 $f (x) = l n \frac{2 + x}{2 - x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2 ， 2)$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $R$ D、 $f (x)$ 是减函数

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11. 下列计算结果正确的是（）

A、 $c o s^{4} \frac{π}{8} - s i n^{4} \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + t a n 15 °}{1 - t a n 15 °} = \sqrt{3}$ C、 $2 s i n 15 ° s i n 75 ° = 1$ D、 $s i n 140 ° (\sqrt{3} - t a n 190 °) = 1$

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12. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - | l o g_{2} (x - 3) |$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $\frac{1}{x_{1}} < \frac{1}{4}$ B、 $(x_{1} - 4) (x_{2} - 3) < 0$ C、 $| l o g_{2} (x_{1} - 3) | = l o g_{2} \frac{1}{x_{1} - 3}$ D、 $(x_{1} - 3) (x_{2} - 3) > 1$

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x > 0$ ， $l n (x + 1) > 0$ ”的否定是．

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 4^{x} + 3 x + b$ （ $b$ 为常数），则 $f (x)$ 在 $[- 3 ， - 1]$ 上的最大值为.

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15. 已知 $α 、 β$ 为锐角， $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{5}{13}$ ，则 $\cos β =$

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16. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x + a (a > 0)$ ，若 $f (f (x))$ 有三个零点，则 $a =$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R)$ 的最小值为 $- 9$ ，方程 $f (x) = 7$ 有两个实根 $- 2$ 和6.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq m x - 4 m - 5 (m \in R)$ 的解集.

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18. 已知函数 $f (x) = l g (- x^{2} + 4 x + 5)$ 的定义域为 $M$ ，关于 $x$ 的不等式 $| x - a | \leq 7$ 的解集为 $N$ .

(1)、当 $a = 8$ 时，求 $(∁_{R} M) ∪ N$ ；

(2)、若 $x \in M$ 是 $x \in N$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (4 - a x)$ .

(1)、若当 $x \in [\frac{1}{2} ， 3)$ 时，函数 $f (x)$ 有意义，求实数 $a$ 的取值范围.

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得函数 $f (x)$ 在 $[- 5 ， 21]$ 上为增函数，并且在此区间的最小值为 $- 1$ ？若存在，试求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = (2 c o s^{2} x - 1) s i n 2 x + \frac{1}{2} c o s 4 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 时，关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq m$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = - s i n^{2} x + \frac{1}{2} c o s x + \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域.

(2)、求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集.

(3)、当 $m$ 为何值时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ 内的实根最多？最多有几个？（直接给出答案即可，无需说明理由）

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22. 已知函数 $f (x) = | \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} |$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、若存在正实数 $x_{1} ， x_{2}$ 且 $x_{2} > x_{1}$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $[x_{1} ， x_{2}]$ 上的值域为 $[\frac{a}{2^{x_{1} + 1} - 3} ， \frac{a}{2^{x_{2} + 1} - 3}]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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