河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期理数第一次摸底考试试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{3 + i}{1 + i}$ ，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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2. 已知集合 $A = {(x ， y) | y = x (x + 1) (x - 1)} ， B = {(x ， y) | y = 0}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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3. 某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数 $x$ 与月产量 $y$ （件）之间的统计数据如下表：
$x$
4
6
8
10
$y$
30
40
60
70
由数据可知 $x$ ， $y$ 线性相关，且满足回归直线方程 $\hat{y} = b x + 1$ ，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为（）

A、73件 B、79件 C、85件 D、90件

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4. 函数 $f (x) = \frac{6^{x} - 6^{- x}}{| 4 x^{2} - 1 |}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 ${(x + \frac{4}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中常数项为 $240$ ，则正整数 $n$ 的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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6. 设 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $t a n α = \frac{c o s β}{1 + s i n β}$ ，则（）

A、 $3 α - β = \frac{π}{2}$ B、 $2 α - β = \frac{π}{2}$ C、 $3 α + β = \frac{π}{2}$ D、 $2 α + β = \frac{π}{2}$

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7. 已知圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的下底面圆 $O_{2}$ 的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆 $O_{1}$ 上任意—点，若三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $12 \sqrt{3}$ ，则圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的外接球的表面积为（）

A、 $36 π$ B、 $64 π$ C、 $144 π$ D、 $252 π$

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8. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ，且 $A B = B C = 2$ ，若直线 $A B_{1}$ 与侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 与 $A C$ 所成的角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 已知 $P (x ， y)$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的准线上一点，则 $\sqrt{y^{2} + 4} + \sqrt{(y - 4)^{2} + 25}$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{34} + \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{65}$ D、 $\sqrt{41} + 2$

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10. 已知实数a，b，c满足 $a = l n (2 \sqrt{e} a) ， b = l n (3 \sqrt[3]{e} b) ， c = l n c + e - 1$ ，且 $(2 a - 1) (3 b - 1) (c - e) \neq 0$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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11. 分别过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 作平行直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 在 $x$ 轴上方分别与 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为 $\sqrt{a^{2} - b^{2}}$ ，且 $S_{△ O P F_{1}} = 3 S_{△ O Q F_{2}}$ （ $S$ 表示面积， $O$ 为坐标原点），则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ 与 $g (x) = l n x + (a + 2) x + 1 (a \in R)$ 的图象没有公共点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 3)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(- ∞ ， 0)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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二、填空题

13. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，则 $\vec{A B} \cdot \vec{D F} =$ ．

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14. 已知圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的圆心都在坐标原点，半径分别为 $1$ 与 $5$ ．若圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴正半轴上，且与圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 均内切，则圆C的标准方程为．

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15. 已知 $f (x) = s i n (3 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 为奇函数，若对任意 $α \in [- \frac{π}{9} ， \frac{2 π}{9}]$ ，存在 $β \in [- \frac{π}{9} ， α]$ ，满足 $f (α) + f (β) = 0$ ，则实数 $α$ 的取值范围是．

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16. 如图，已知 $P$ ， $Q$ 分别为 $∠ A O B$ 两边上的点， $∠ A O B = \frac{π}{6}$ ， $P Q = 3$ ，过点 $P$ ， $Q$ 作圆弧， $R$ 为 $\overset{⌢}{P Q}$ 的中点，且 $∠ P Q R = \frac{π}{6}$ 则线段 $O R$ 长度的最大值为．

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三、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n + 1}}{n + 1} - \frac{a_{n}}{n} = 2^{n}$ ．

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，且数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．若 $T_{k} = \frac{62}{63}$ ，求正整数 $k$ 的值．

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18. 某出租车公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾驶技术和服务水平两个方面进行了考核，并从中随机抽取了100名驾驶员，这100名驾驶员的驾驶技术与性别的2×2列联表和服务水平评分的频率分布直力图如下，已知所有驾驶员的服务水平评分均在区间 $[76 ， 100]$ 内.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.050
0.010
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635

(1)、判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关；

(2)、从服务水平评分在区间 $[88 ， 92) ， [92 ， 96) ， [96 ， 100]$ 内的驾驶员中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取4人，记X为4人中评分落在区间 $[92 ， 96)$ 内的人数，求X的分布列和数学期望．

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19. 在如图所示的六面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C$ $∥$ 平面 $A_{1} D_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A A_{1} ∥ C C_{1}$ ， $B C = 2 B_{1} C_{1}$ ， $A B = 2 A_{1} D_{1}$ .

(1)、求证： $A C$ $∥$ 平面 $B B_{1} D_{1}$ ；

(2)、若 $A C ， B C ， C C_{1}$ 两两互相垂直， $A C = B C = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，求二面角 $A - B D_{1} - C$ 的余弦值．

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20. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P (2 ， 3)$ 在C上，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为6．

(1)、求C的方程；

(2)、若过点 $F_{2}$ 且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于 $A ， B$ 两点，Q为x轴上一点，满足 $| Q A | = | Q B |$ ，证明： $\frac{| A F_{1} | + | B F_{1} | - 4}{| Q F_{2} |}$ 为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{e^{a x}} (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为2，求a的值；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 有三个不同的实数根，求a的取值范围.

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22. 在直角坐标系xOy中，已知点 $P (\sqrt{3} ， 2)$ ，直线l的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是 $ρ^{2} = (2 ρ - s i n θ) s i n θ + (2 ρ - c o s θ) c o s θ$ ．

(1)、求l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)、设l与C相交于点A，B，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知正实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x + 2 y + 4 z = 3$ ，

(1)、证明： $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y} + \frac{1}{4 z} ≥ 3$ ；

(2)、求 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值．

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$x$	4	6	8	10
$y$	30	40	60	70

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.050	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635