河南省焦作市普通高中2022-2023学年高二下学期数学开学诊断考试试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = - \frac{3 - i}{1 + i}$ ，则z在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{5 - λ} - \frac{y^{2}}{4 - λ} = 1 (λ < 4)$ 的焦距为4，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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3. 已知在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A D_{1}} = x \vec{C D} + y \vec{C C_{1}} + z \vec{B D}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、 $- 2$

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4. 已知变量y与x线性相关，且变量x，y之间有如下对应数据：
x
2
3
4
5
6
y
7
6
9
12
11
若回归方程为 $y = 1.4 x + a$ ，则a的值为（）

A、3.4 B、6.2 C、7.5 D、8.6

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5. 已知函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{4}} x$ 的图象经过点 $(\frac{1}{2} ， m)$ ， $a = l o g_{7} m ， b = 0 . 6^{m} ， c = {(\frac{3}{2})}^{m}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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6. 已知点A是抛物线 $x^{2} = 2 y$ 上的点，点 $B (0 ， 3)$ ，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知直线 $l ： k x + y - 3 k - 4 = 0 (k \in R)$ ，点 $A (4 ， 1)$ 和 $B (6 ， 15)$ 到直线l的距离分别为 $d_{1} ， d_{2}$ 且 $d_{2} = 2 d_{1}$ ，则直线l的方程为（）

A、 $x + y + 9 = 0$ B、 $2 x + y - 18 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ 或 $17 x - y - 47 = 0$ D、 $x + 4 y - 6 = 0$ 或 $3 x + y - 12 = 0$

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8. 某班学生的一次数学考试成绩 $ξ$ （满分：100分）服从正态分布 $N (85 ， σ^{2})$ ，且 $P (83 < ξ \leq 87) = 0.3 ， P (78 < ξ \leq 83) = 0.26$ ，则 $P (ξ \leq 78) =$ （）

A、0.03 B、0.05 C、0.07 D、0.09

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9. 已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件 $A_{1} ， A_{2}$ 表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则 $P (B) =$ （）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{55}{144}$ C、 $\frac{25}{72}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 某社区组织体检活动，项目有抽血、彩超、胸透、尿检四项，共有5名医护人员执行任务，每个项目至少需要1名医护人员，且每个医护人员只参与一个项目．其中有3名医护人员四个项目都能胜任，有2名医护人员既不会彩超也不会胸透，其他两个项目都能胜任，则这5名医护人员的不同安排方案有（）

A、36种 B、48种 C、52种 D、64种

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11. 把函数 $y = 4 c o s \frac{π}{2} x$ 图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把图象向右平移2个单位长度，此时图象对应的函数为 $f (x)$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2023) =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、0 D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 甲乙两人玩闯关游戏，该游戏一共要闯三关，每个人每一关能否闯关成功是相互独立的，甲第一，第二，第三关闯关成功的概率分别是 $\frac{5}{6} ， \frac{3}{5} ， \frac{1}{3}$ ，乙第一，第二，第三关闯关成功的概率都是 $\frac{3}{5}$ .规定每一关闯关成功记1分，未闯关成功记0分，用 $ξ$ 表示甲在闯关游戏中的得分，用 $η$ 表示乙在闯关游戏中的得分，则在“ $ξ + η = 4$ ”的条件下，“ $ξ > η$ ”的概率为（）.

A、 $\frac{2}{31}$ B、 $\frac{1}{42}$ C、 $\frac{3}{53}$ D、 $\frac{10}{67}$

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二、填空题

13. 已知圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积为．

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14. $(x + 2)^{4} (x - 1)^{3}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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15. 某中学统计了一个班40名学生中每一个学生的英语成绩与语文成绩，并制成了一个不完整的 $2 \times 2$ 列联表如下：

英语成绩及格
英语成绩不及格
总计
语文成绩及格
20
语文成绩不及格
11
总计
25
40
则（填“有”或“没有”） $99 %$ 的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 为双曲线C右支上位于第一象限的一点， $∠ P F_{1} F_{2} = \frac{π}{6} ， | P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，则双曲线C的离心率为．

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三、解答题

17. 已知直线 $y = x$ 被圆 $C ： (x - 3 c)^{2} + (y - c)^{2} = 9 c^{2} (c > 0)$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{7}$ ．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若直线l的方程为 $(a + 1) x + (a + 2) y - 3 a - 5 = 0 (a \in R)$ ，试确定直线l与圆C的位置关系．

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18. 已知 $△ A B C$ 的角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 \sqrt{3} a s i n^{2} \frac{C}{2} - c s i n A = \sqrt{3} (a - b)$ ．

(1)、求 $t a n A$ 的值；

(2)、若 $b c = \frac{1}{3}$ ， $b + c - \sqrt{2} a = 0$ ，求 $a$ ．

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19. 某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．

(1)、一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；

(2)、依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；

(3)、依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．

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20. 已知一个盒子里装有两种颜色的小球，其中有红球6个，黄球3个．

(1)、现从中每次随机取出一个球，且每次取球后都放回盒中，求事件“连续取球三次，至少两次取到黄球”发生的概率；

(2)、若从盒中一次随机取出3个小球，记取到黄球的个数为X，求随机变量X的数学期望．

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21. 在如图所示的几何体 $E F - A B C D$ 中， $D E ⊥$ 底面 $A B C D ， E F ∥ C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形，其中心为P， $E D = E F = 2$ ．

(1)、求三棱锥 $F - A C E$ 的体积；

(2)、求二面角 $E - A C - F$ 的平面角的余弦值．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{2}{3}$ ，且椭圆C的右顶点与抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的焦点重合．

(1)、求椭圆C的方程．

(2)、若椭圆C的左、右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，直线 $l ： y = k (x - 1)$ 与椭圆C交于E，D两点，且点E的纵坐标大于0，直线 $A_{1} E ， A_{2} D$ 与y轴分别交于 $P (0 ， y_{P}) ， Q (0 ， y_{Q})$ 两点，问： $\frac{| y_{P} |}{| y_{Q} |}$ 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

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	英语成绩及格	英语成绩不及格	总计
语文成绩及格	20
语文成绩不及格		11
总计	25		40

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635