广东省新高考2023届高三下学期数学开学调研试卷

试卷更新日期：2023-02-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (6 - x) (x + 3) \geq 0 ， x \in Z}$ ， $B = {- 2 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z}$ 的实部为（）

A、1 B、-1 C、0 D、 $- i$

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3. 设 $λ \in R$ ，则“ $λ = 1$ ”是“直线 $3 x + (λ - 1) y = 1$ 与直线 $λ x + (1 - λ) y = 2$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A = 4 5^{∘}$ ， $∠ B = 3 0^{∘}$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ，则 $A C =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 设抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与 $E$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A F | + 2 | B F |$ 的最小值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $2 + 3 \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座 $A$ 只能安排在第一或最后一场，讲座 $B$ 和 $C$ 必须相邻，问不同的安排方法共有（）

A、34种 B、56种 C、96种 D、144种

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7. 在概率论中，全概率公式指的是：设 $Ω$ 为样本空间，若事件 $A_{1} ， A_{2} ， ⋯ ， A_{n}$ 两两互斥， $A_{1} ∪ A_{2} ∪ ⋯ ∪ A_{n} = Ω$ ，则对任意的事件 $B \subseteq Ω$ ，有 $P (B) = P (A_{1}) P (B | A_{1}) + P (A_{2}) P (B | A_{2}) + ⋯ + P (A_{n}) P (B | A_{n})$ ．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有 $x$ 个白球 $(x \in N)$ 、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于 $\frac{5}{12}$ ，则 $x$ 的最大值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 若正实数 $a ， b$ 满足 $a > b$ ，且 $l n a \cdot l n b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $l o g_{a} \frac{1}{b} > 0$ B、 $a - b > \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ C、 $3^{a b + 1} < 3^{a + b}$ D、 $a^{b - 1} < b^{a - 1}$

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二、多选题

9. 给出下列说法，其中正确的是（）

A、某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为 $5.5$ B、已知数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯$ 的平均数为2，方差为3，那么数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $⋯$ 的平均数和方差分别为5，13 C、在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定 D、样本相关系数 $r \in (- 1 ， 1)$

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10. 已知 $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $P$ 为圆 $C (x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ 上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、以 $A B$ 为直径的圆与圆 $C$ 相交所得的公共弦所在直线方程为 $3 x - y - 7 = 0$ B、若点 $P (4 ， 3)$ ，则 $△ P A B$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ C、过点 $B$ 且与圆 $C$ 相切的圆的圆心轨迹为圆 D、 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2}$ 的最小值为 $18 - 3 \sqrt{10}$

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11. 将函数 $f (x) = 3 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为 $y = g (x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 B、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{24} ， \frac{5 π}{24}]$ 上单调递增 D、函数 $g (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上恰有5个极值点

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12. 半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，半正多面体有且只有13种．最早用于1970年世界杯比赛的足球就可以近似看作是由12个正五边形和20个正六边形组成的半正面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图所示的二十四等边体就是一种半正多面体，它由8个正三角形和6个正方形围成，它是通过对正方体进行八次切截而得到的．若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是（）

A、 $M Q$ 与平面 $A E M H$ 不可能垂直 B、异面直线 $B C$ 和 $E A$ 所成角为 $6 0^{∘}$ C、该二十四等边体的体积为 $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ D、该二十四等边体外接球的表面积为 $18 π$

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 通过点 $P (2 ， 4)$ ，并且 $l$ 的方向向量与向量 $\vec{n} = (1 ， - 1)$ 垂直，已知数列 ${a_{n}}$ 满足：对于任意正整数 $n$ ，点 $(a_{n} ， a_{n + 1})$ 均在 $l$ 上，若 $a_{3} = 5$ ，则 $a_{2023} =$ ．

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14. 已知点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $A$ 的坐标为 $(6 ， 0)$ ， $O$ 为原点，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围为．

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15. 设点 $F$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点， $A$ ， $B$ 为椭圆的上、下顶点， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 是以 $O F$ 为直径的圆上一点，且满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，且 $t a n ∠ P F O = 2$ ，则椭圆的离心率为．

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16. 如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球； $⋯$ ；第 $n$ 堆有 $n$ 层共 $S_{n}$ 个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球， $⋯$ 则 $S_{6} =$ ， $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{S_{k}} =$ ． [参考公式： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ⋯ + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ]

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} s i n A s i n B s i n C = s i n^{2} A - s i n^{2} B + s i n^{2} C$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、 $D$ 为 $A C$ 边上一点，且 $B D = 2$ ， $c = 3$ ， $a = 2$ ，求 $A D$ 的长．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A = P D = \sqrt{3}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， $∠ A P B = ∠ C P D = 9 0^{∘}$ ， $A D = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是棱 $B C$ ， $P D$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $M N$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} - (- 1)^{n} b_{n}$ ， $b_{n + 1} = 3 b_{n} - (- 1)^{n} a_{n}$ ．

(1)、求 ${a_{2 n} + b_{2 n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} + (- 1)^{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$

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20. 2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响．

(1)、求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目 $A$ 的概率；

(2)、记 $X$ 为这四个人中选择项目 $A$ 的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、如果将甲、乙、丙、丁四个人改为 $n$ 个人 $(n > 4)$ ，其他要求相同，问：这 $n$ 个人中选择项目 $A$ 的人数最有可能是多少人？

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21. 已知 $A ， B$ 两点的坐标分别为 $(- 1 ， 0)$ ， $(1 ， 0)$ ，直线 $A P$ ， $B P$ 相交于点 $P$ ，且它们的斜率之积为 $4$ ．

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 的直线 $l$ 与点 $P$ 的轨迹交于 $C$ ， $D$ 两点，试探究直线 $A C$ 与 $B D$ 的交点 $M$ 是否在某条定直线上，若是求出该定直线方程，若不是请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x + x + \frac{2}{x} + 2 a (a \in R)$ ．

(1)、证明函数 $f (x)$ 有唯一极小值点；

(2)、若 $0 < a < \frac{e}{4}$ ，求证： $f (x) < x + \frac{e^{x} + 2}{x}$ ．

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