浙江省宁波市镇海区蛟川书院2022-2023学年八年级上学期末数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，不能表示 $y$ 是 $x$ 函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = \pm 2$ B、 $\sqrt{4 \frac{1}{9}} = 2 \frac{1}{3}$ C、 $3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{3} \div \sqrt{12} = 2$

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3. 已知 $x < y$ ，则下列不等式一定成立的是（　　）

A、 $x - 5 > y - 5$ B、 $- 2 x > - 2 y$ C、 $a^{2} x < a^{2} y$ D、 $\frac{x}{3} > \frac{y}{3}$

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4. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 2 k$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）

A、 $k > \frac{3}{2}$ B、 $k > 1$ C、 $k < 1$ D、 $k > - \frac{3}{2}$

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5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）与 $y = b x - k$ （ $b \neq 0$ ）的大致图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图是测量一颗玻璃球体积的过程：

（1）将 $320 c m^{3}$ 的水倒进一个容量为 $500 c m^{3}$ 的杯子中；
（2）将五颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.

根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（）

A、 $25 c m^{3}$ 以上， $30 c m^{3}$ 以下 B、 $30 c m^{3}$ 以上， $33 c m^{3}$ 以下 C、 $30 c m^{3}$ 以上， $36 c m^{3}$ 以下 D、 $33 c m^{3}$ 以上， $36 c m^{3}$ 以下

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7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $B (0 ， 6)$ ，点A在第一象限内， $A B = O A$ ， $∠ O A B = 120 °$ ，将 $△ A B O$ 绕点О逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（　　）

A、 $(- 3 ， \sqrt{3})$ B、 $(- \sqrt{3} ， 3)$ C、 $(\sqrt{3} ， - 3)$ D、 $(3 ， - \sqrt{3})$

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8. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，满足 $a - b + c = 0$ ，且有两个相等的实数根，则（）

A、 $2 a - b = 0$ B、 $b = c$ C、 $2 a = c$ D、 $b + c = 0$

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9.
如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD= $\sqrt{2}$ AE²；④S_△_ABC=4S_△_ADF ．其中正确的有（）

A、1个 B、2 个 C、3 个 D、4个

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10. 如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边 $△ A F G$ 和 $△ B D E$ 放在最大的等边 $△ A B C$ 内（如图）， $D E$ 与 $F G$ 交于点P，连结 $A P$ ， $F E$ .欲求 $△ G E C$ 的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（　　）

A、 $△ A P G$ B、 $△ A D P$ C、 $△ D F P$ D、 $△ F E G$

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二、填空题

11. 使二次根式 $\frac{\sqrt{x + 3}}{3}$ 有意义的x的取值范围是.

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12. 已知 $(1 ， y_{1})$ ， $(- 2 ， y_{2})$ 是直线 $y = - 2 x + b$ 上的两个点，则 $y_{1}$ $y_{2}$ .（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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13. 如果一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x > 3 \\ x > a \end{array}$ 的解集为 $x > 3$ ．则a的取值范围是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 80 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于D， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ B = 60 °$ ，则 $∠ D A E =$ 度.

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，D为AC中点，过点A作AE∥BC，连结BE，∠EBD=∠CBD，BD=5，则BE的长为.

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16. 如图， $R t △ B D E$ 中， $∠ B D E = 90 °$ ， $D B = D E = 2$ ， A是 $D E$ 的中点，连结 $A B$ ，以 $A B$ 为直角边做等腰 $R t △ A B C$ ，其中 $∠ A B C = 90 °$ .① $A C$ 的长为， ②连结 $C E$ ，则 $C E$ 的长为.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $- 2^{2} + \sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $(- \sqrt{5})^{2} - \sqrt{16} + \sqrt{(- 2)^{2}}$ .

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x + 1) \geq x - 1 \\ \frac{x + 9}{2} > 2 x \end{array}$ ，并把解集表示在数轴上.

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = A B ， A D ⊥ B C$ ，过点C作 $C E ∥ A B$ ， $∠ B C E = 70 °$ ，连接 $E D$ 并延长 $E D$ 交 $A B$ 于点F.

(1)、求 $∠ C A D$ 的度数；

(2)、证明： $△ C D E ≌ △ B D F$ ；

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20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

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21. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为 $y = - \frac{4}{3} x + b$ ，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4.

(1)、求出A点的坐标.

(2)、在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得 $∠ Q B A = 90 °$ ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、点P为y轴上一点，连结AP，若 $∠ A P O = 2 ∠ A B O$ ，求点P的坐标.

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22. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ $\sqrt{2}$ c，这时我们把关于x的形如 $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：

(1)、判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
① $2 x^{2} + \sqrt{5} x + 1 = 0$ （填“是”或“不是”）；
② $3 x^{2} + 5 \sqrt{2} x + 4 = 0$ （填“是”或“不是”）

(2)、求证：关于x的“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 必有实数根；

(3)、若 $x = - 1$ 是“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积.

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23.

(1)、【问题情境】如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点P为边 $B C$ 上的任一点，过点P作 $P D ⊥ A B$ ， $P E ⊥ A C$ ，垂足分别为D、E，过点 $C$ 作 $C F ⊥ A B$ ，垂足为F.求证： $P D + P E = C F$ .

(2)、【结论运用】如图 $2$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使点D落在点B上，点C落在点 $C^{'}$ 处，点P为折痕 $E F$ 上的任一点，过点P作 $P G ⊥ B E$ 、 $P H ⊥ B C$ ，垂足分别为G、H，若 $A D = 8$ ， $C F = 3$ ，求 $P G + P H$ 的值；

(3)、【迁移拓展】如图 $3$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ A B C$ ， $E$ 为 $A B$ 边上的一点， $E D ⊥ A D$ ， $E C ⊥ C B$ ，垂足分别为D、C， $A B = 8$ ， $A D = 3$ ， $B D = 7$ ， M、N分别为 $A E$ 、 $B E$ 的中点，连接 $D M$ 、 $C N$ ，求 $△ D E M$ 与 $△ C E N$ 的周长之和.

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24. 如图，在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 中，过 $A D$ 中点E作正 $△ E A F$ ，过点F的直线分别交边 $A B$ 、 $D C$ 于点G、H、已知点M、N分别是线段 $F H$ 、 $A B$ 的动点，且 $△ E M N$ 是等边三角形.

(1)、判断 $E F$ 与 $G H$ 的位置关系，并说明理由.

(2)、当点N在线段 $G B$ 上时
①求证： $A G = F G$
②试判断 $M H + G N$ 的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值.

(3)、设 $∠ N E A = α$ ，点A关于 $E N$ 的对称点为 $A^{'}$ ，若点 $A^{'}$ 落在 $△ E M N$ 的内部，请直接写出 $α$ 的范围.

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