浙江省宁波市镇海区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-02-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知， $\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{a + b}{a}$ 的值等于（　　）

A、1 B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{7}{4}$

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2. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $3 c m$ ，点P到圆心O的距离为 $5 c m$ ，则点 $P$ （）

A、在圆内 B、在圆上 C、在圆外 D、在圆上或圆外

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3. 抛物线 $y = - 3 x^{2} + 6 x - 1$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = 2$ B、直线 $x = 1$ C、直线 $x = - 2$ D、直线 $x = - 1$

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4. 如图，某游乐场一滑梯长为l，滑梯的坡角为 $α$ ，那么滑梯的高h的长为（）

A、 $\frac{1}{s i n α}$ B、 $l \cdot t a n α$ C、 $l \cdot c o s α$ D、 $l \cdot s i n α$

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5. 如图， $⊙ O$ 的弦长为 $8 c m$ ， $⊙ O$ 的半径为 $5 c m$ ，则弦 $A B$ 的弦心距为（）

A、 $6 c m$ B、 $5 c m$ C、 $3 c m$ D、 $2 c m$

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6. 如图，已知 $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A D ： A F = 3 ： 5$ ， $B C = 6$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、2 B、4 C、9 D、10

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7. 将二次函数 $y = x^{2}$ 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ C、 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x + 1)}^{2} - 2$

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8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 与 $A B$ 垂直，垂足为点E，连接 $O C$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $F$ ， $∠ C D B = 30 °$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3} - \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ D、 $2 π - 2 \sqrt{3}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，则下列四个结论，其中错误的结论是（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{O D}{D C} = \frac{1}{3}$ C、 $\frac{△ A D E 的周长}{△ A B C 的周长} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{S_{△ D O E}}{S_{△ B O D}} = \frac{1}{4}$

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10. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C、D在 $⊙ O$ 上，且在 $A B$ 两侧， $D E ⊥ A B$ 于点H交线段 $A C$ 于E.若 $C B = C E$ ， $A D = 5$ ， $s i n B = \frac{4}{5}$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\frac{75}{4}$ B、 $\frac{25}{2}$ C、 $\frac{35}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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二、填空题

11. 已知线段 $a = 1$ ， $b = 2$ ，则a，b的比例中项线段长等于.

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12. 一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同.小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在 $30 %$ 左右，则可估计红球的个数约为.

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13. 已知 $α$ 为锐角，且 $t a n (α - 10 °) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则锐角 $α$ 的度数是.

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14. 如图，把一个大长方形 $A B C D$ 划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形 $A B C D$ 相似，则 $A D ： C D$ 的值为.

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15. 如图，在 $5 \times 4$ 的网格图中，每个小正方形的边长均为1.设经过格点A、B、E三点的圆弧与线段 $B C$ 交于点D，则弧 $A D$ 的弧长为.

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，点 $E$ 是对角线 $A C$ 上一动点，连接 $D E$ ，过E作 $E F ⊥ D E$ ，交 $A B$ 边于点F，以 $D E$ 、 $E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ .

(1)、当 $C E = 4$ 时，则 $E F$ 的长=.

(2)、点 $H$ 在 $D C$ 上，且 $H D = 1$ ，连接 $H G$ ，则 $H G$ 长的最小值是.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{3} c o s 30 ° - \sqrt{2} c o s 45 ° + t a n 45 °$

(2)、已知 $\frac{x - 2 y}{x + y} = \frac{2}{5}$ ，求 $\frac{x}{y}$ 的值.

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18. 一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别.

(1)、从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率.

(2)、从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率.（要求列表或画树状图说明）

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19. 如图在 $5 \times 5$ 的网格中， $△ A B C$ 的顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图.（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）

(1)、在图1中，画出 $△ A B C$ 的中线 $A D$ 和重心G；

(2)、在图2中，画线段 $C E$ ，点E在 $A B$ 上，使得 $S_{△ A C E} ： S_{△ B C E} = 3 ： 4$ ；

(3)、在图3中，画出 $△ A B C$ 的外心点O.

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20. 在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度.如图所示，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6m，坡度i=1： $\sqrt{3}$ ，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为70°，点B到旗杆底端C的距离为5m.

(1)、求斜坡AB的坡角α的度数.

(2)、求旗杆顶端离地面的高度ED.（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果精确到1m）

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21. 新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套.为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施.若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套.设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元.

(1)、求出y与x的函数关系式；

(2)、若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？

(3)、当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？

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22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = k x - 7$ 的图象与二次函数 $y_{2} = 2 x^{2} + b x + c$ 的图象交于 $A (1 ， - 5)$ 、 $B (3 ， t)$ 两点.

(1)、求 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的函数关系式；

(2)、直接写出当 $y_{1} < y_{2}$ 时，x的取值范围；

(3)、点C为一次函数 $y_{1}$ 图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数 $y_{2}$ 的图象上，求n的值.

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23.

(1)、【基础巩固】如图1，在 $△ A B C$ 中，E是 $A B$ 上一点，过点E作 $B C$ 的平行线交 $A C$ 于点F，点D是 $B C$ 上任意一点，连结 $A D$ 交 $E F$ 于点G，求证： $\frac{E G}{G F} = \frac{B D}{D C}$ ；

(2)、【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，连结 $B F$ ， $D F$ ，若 $∠ C = 30 °$ ， $F E$ 、 $F B$ 恰好将 $∠ A F D$ 三等分，求 $\frac{E G}{F G}$ 的值；

(3)、【拓展延伸】
如图3，在等边 $△ A B C$ 中， $B D = 4 D C$ ，连结 $A D$ ，点E在 $A D$ 上，若 $∠ B E C = 120 °$ ，求 $\frac{B E}{B C}$ 的值.

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24. 如图1，在锐角 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，圆O为 $△ A B C$ 的外接圆.

(1)、求证： $O A$ 平分 $∠ B A C$ .

(2)、如图2，点E在弧 $A B$ 上， $C E$ 分别与 $O A$ ， $B A$ 交于点F，G，且 $C F = B E$ .
①求证： $B G ⊥ E F$ ；
②若 $E F = 2$ ， $C F = 3$ ，求圆O的半径.
③如图3，连结 $B O$ 并延长交 $A C$ 于D，交 $C E$ 于H，若 $D H = O H$ ，求 $c o s ∠ B A C$ 的值.

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