吉林省松原市乾安县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-02-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列二次根式，化简后能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{21}$ D、 $\sqrt{12}$

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2. 直角三角形的两边长分别为6和10，那么它的第三边的长度为（）

A、8 B、10 C、8或 $2 \sqrt{34}$ D、10或 $2 \sqrt{34}$

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3. 下列命题正确的是（）

A、对角线相等的四边形是平行四边形 B、对角线相等的四边形是矩形 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

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4. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，则BC的长为（）cm．

A、 $4 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

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5. 如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为 $4 c m$ 、 $3 c m$ 、 $12 c m$ ，现有一长为 $16 c m$ 的吸管插入盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分 $h (c m)$ 的取值范围为（）

A、 $3 < h < 4$ B、 $3 ≤ h ≤ 4$ C、 $2 \leq h \leq 4$ D、 $h = 4$

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二、多选题

6. 下列运算错误的是（）

A、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{4 \frac{1}{9}} = 2 \frac{1}{3}$ C、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = 2 - \sqrt{5}$

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三、填空题

7. 若 $\sqrt{1 - 3 x}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围.

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8. 若x＝ $\sqrt{m}$ － $\sqrt{n}$ ， y＝ $\sqrt{m}$ ＋ $\sqrt{n}$ ，则xy的值是．

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9. $\sqrt{{(π - 3.14)}^{2}}$ = ．

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10. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3米，宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？答：．（填“能”或“不能”）

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11. 在《九章算术》中有一个问题（如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈（ $10$ 尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根 $3$ 尺，试问折断处离地面尺．

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12. 如图E在边AB上，把矩形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3．则△CDF的面积是．

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13. 如图，在等腰Rt△OAA₁中，∠OAA₁=90°，OA=1，以OA₁为直角边作等腰Rt△OA₁A₂ ，以OA₂为直角边作等腰Rt△OA₂A₃ ， …，则OA_n的长度为．

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14. 已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO，若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE＝3：2，其中正确结论是．

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四、解答题

15. 计算：

(1)、 $(3 \sqrt{12} - 2 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}) \div 2 \sqrt{3}$ ；

(2)、 $\sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^{2}}$ ．

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16. 如图，小红同学要测量A，C两地的距离，但A，C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A，C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A，C两地．她测量得到AB＝80米，BC＝20米，∠ABC＝120°.请你帮助小红同学求出A，C两地之间的距离．(结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{21}$ ≈4.6)

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17. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，顺次连接B、E、D，F.求证：四边形BEDF是平行四边形.

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18. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点．连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．

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19. 如图， $△$ ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位1．

(1)、求证： $△$ ABC为直角三角形；

(2)、在图中画一条线段DE，使DE=AB，且D、E两点落在正方形网格的格点上；

(3)、求点B到AC的距离．

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20. 小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A ，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？

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21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

(1)、求证：四边形OEFG是矩形；

(2)、若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

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22. 已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点.

(1)、求证：四边形AMCN是平行四边形；

(2)、当AC、BC满足怎样的数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由.

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23. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ＝ $\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)}$ ＝ $\sqrt{2}$ -1； $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ＝ $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})}$ ＝ $\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$ ；
$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}$ ＝ $\frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})}$ ＝ $\sqrt{4}$ - $\sqrt{3}$ ；……则：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}}$ ＝； $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ ＝；

(2)、观察上面的解题过程，请直接写出式子 $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}$ ＝；

(3)、利用这一规律计算：（ $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ + $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}$ +……+ $\frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2022}}$ ）•（ $\sqrt{2022}$ +1）的值．

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24. 教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．

(1)、问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．

(2)、问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为．

(3)、如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为．

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25. 操作发现
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．

(1)、求证：△CDO是等腰三角形；

(2)、若DF=8，求AD的长．

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26. 如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．

(1)、猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．

(2)、如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．

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