河北省衡水市景县九校联考2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2023-02-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知式子 $\frac{2}{\sqrt{1 - x}}$ 有意义，则 $x$ 的值可以是（）

A、3 B、2 C、1 D、-1

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2. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对应边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $b^{2} = a^{2} + c^{2}$ ，则（）

A、 $∠ A = 90 °$ B、 $∠ B = 90 °$ C、 $∠ C = 90 °$ D、无法确定

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3. 若 $\sqrt{3} +______= \sqrt{48}$ ，则横线处应为（）

A、 $\sqrt{27}$ B、 $\sqrt{24}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，若 $A C = 10$ ， $B D = 12$ ，则 $O A + O B =$ （）

A、5 B、6 C、10 D、11

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5. 已知直角三角形的一条直角边长为 $\sqrt{8}$ ，斜边长为 $2 \sqrt{10}$ ，则另一条直角边的长为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D = ∠ A - 40 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $135 °$ B、 $120 °$ C、 $115 °$ D、 $110 °$

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7. 若 $x = \sqrt{5}$ ， $y = 5 - \sqrt{10}$ ，则 $x \cdot y$ 的值为（）

A、 $5 \sqrt{5} - 5 \sqrt{2}$ B、 $5 - 5 \sqrt{5}$ C、 $5 - 2 \sqrt{5}$ D、 $- \sqrt{10}$

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8. 下列命题的逆命题是真命题的是（）

A、对顶角相等 B、正方形的四个角均为直角 C、矩形的对角线相等 D、菱形的四条边都相等

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9. 如图，甲，乙，丙三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（）

A、0张 B、1张 C、2张 D、3张

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10. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，若 $∠ O A D = 30 °$ ，则 $∠ A O D$ 的度数为（）

A、 $110 °$ B、 $115 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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11. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，添加下列条件后，仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A、AB=CD B、AD∥BC C、OB=OD D、AB∥CD

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 25$ ， $A C = 20$ ， $A B = 15$ ， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线交于点 $D$ ，则 $∠ A B D + ∠ A C D$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线， $F$ 是边 $B C$ 的中点，连接 $D F$ ．若 $B C = 6$ ， $A C = 4$ ，则四边形 $D F C E$ 的周长为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，小明利用尺规作直线 $E F$ ，步骤如下：①分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径画弧；②两弧分别交于点 $M$ ， $N$ ，作直线 $M N$ ；③直线 $M N$ 分别交 $B C$ ， $A D$ 于点 $E$ ， $F$ ，与 $A C$ 交于点 $O$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．若 $A E = 10$ ，则四边形 $A E C F$ 的周长为（）

A、32 B、40 C、48 D、56

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15. 如图，已知树 $E F$ （垂直于地面）上的点 $B$ 处（ $B E = 5$ 米）有两只松鼠，为抢到 $A$ 处（点 $A$ ， $E$ 在同一水平地面上， $A E = 10$ 米）的坚果，一只松鼠沿 $B - E - A$ 到达点 $A$ 处，另一只松鼠沿 $B - F - A$ 到达点 $A$ 处．若两只松鼠经过的路程相等，则树 $E F$ 的高为（）

A、6.5米 B、7.0米 C、7.5米 D、8米

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16. 图中的两个图形都是由边长为1的小正方形拼成的，甲、乙两名同学将它们分别沿着两条垂直的虚线（乙： $M$ ， $N$ 分别是小正方形一边上的中点）剪开，准备拼一个与原来面积相等的正方形，则（）

A、甲、乙都可以 B、甲、乙都不可以 C、甲不可以、乙可以 D、甲可以、乙不可以

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二、填空题

17. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 A C = 2 \sqrt{5}$ ， $A B = \sqrt{15}$ ．

(1)、 $∠ B A C$ 的度数为；

(2)、若 $D$ 是 $B C$ 的中点，则 $∠ A D C$ 的度数为．

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18. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在数轴上，点 $A$ 表示的数为-1，点 $B$ 表示的数为1，点 $C$ ， $D$ 在数轴上方．

(1)、 $A C$ 的长为；

(2)、以点 $A$ 为圆心， $A C$ 长为半径画弧，交数轴负方向于点 $E$ ，则点 $E$ 表示的数为．

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19. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{6}$ ， $P$ 是边 $A D$ 上一点，将矩形沿 $B P$ 向上翻折，点 $C$ 落在点 $E$ 处，点 $D$ 落在点 $F$ 处， $B E$ 与 $A P$ 交于点 $M$ ，设 $A M$ 的长为 $m$ ．

(1)、当点 $M$ 与点A重合时，DP的长为；

(2)、当 $0 \leq D P \leq \sqrt{6} - \sqrt{3}$ 时，m的取值范围是．

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三、解答题

20. 计算下列各小题：

(1)、 $\sqrt{12} - \sqrt{10} + 10 \times \frac{2}{\sqrt{10}}$ ；

(2)、 $(\sqrt{6} + \sqrt{5})^{3} \times (\sqrt{6} - \sqrt{5})^{3}$ ．

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21. 如图，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $C E = 1$ ， $D E = 2$ ， $A E = 4$ ．

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、求证： $A D$ 垂直平分线段 $B C$ ．

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22. 已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架 $A C = 4 d m$ ， $B C = 3 d m$ ， $A B$ ， $D O$ 均与地面平行．

(1)、若支架 $A C$ 与 $B C$ 之间的夹角（ $∠ A C B$ ）为 $90 °$ ，求两轮轮轴 $A$ ， $B$ 之间的距离；

(2)、若 $O F$ 的长度为 $\sqrt{18} d m$ ， $∠ F O D = 135 °$ ，求扶手 $F$ 到 $A B$ 所在直线的距离．

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23. 如图，已知在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，延长 $D C$ 到点 $E$ ，使 $C E = C D$ ，延长 $B C$ 到点 $F$ ，使 $C F = B C$ ，顺次连接点 $B$ ， $E$ ， $F$ ， $D$ ，且 $B D = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ．

(1)、求菱形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求证：四边形 $B E F D$ 是矩形；

(3)、四边形 $B E F D$ 的周长为．

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24. 如图，已知四边形 $A B C D$ 和 $C E F G$ 均是正方形，点K在 $B C$ 上，延长 $C D$ 到点H，使 $D H = B K = C E$ ，连接 $A K ， K F ， H F ， A H$ ．

(1)、求证： $A K = A H$ ；

(2)、求证：四边形 $A K F H$ 是正方形；

(3)、若四边形 $A K F H$ 的面积为10， $C E = 1$ ，求点 $A ， E$ 之间的距离．

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25. 根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律．

(1)、【探究】将题目中的横线处补充完整；
① $\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；
② $\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = 3 \sqrt{\frac{1}{4}}$ ；
③ $\sqrt{3 + \frac{1}{5}} =$ ；
④ $\sqrt{4 + \frac{1}{6}} =$ ；
…

(2)、【归纳】若 $n$ 为正整数，用含 $n$ 的代数式表示上述运算规律，并加以证明；

(3)、【应用】计算： $\sqrt{2021 + \frac{1}{2023}} \times \sqrt{4046}$ ；

(4)、小明写出一个等式 $\sqrt{a + \frac{1}{b}} = 11 \sqrt{\frac{1}{b}}$ （ $a$ ， $b$ 均为正整数），若该等式符合上述规律，则 $a + b$ 的值为．

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26. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在边AD上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边CB上，以每秒2cm的速度从点C出发，在CB之间做往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)、用含t的代数式表示线段AP及BQ的长度；

(2)、在点P，Q的运动过程中，t为何值时，四边形APQB为平行四边形？

(3)、在点P，Q的运动过程中，是否存在t的值，使四边形APQB为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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