浙江省温州市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷（A卷）

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $∁_{B} A =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${1 ， 3 ， 5}$ C、 ${0 ， 2 ， 4}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ ，则“ $α > 0$ ”是“此幂函数图象过点 $(1 ， 1)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $a l o g_{3} 4 = 1$ ， $2^{b} = 6$ 则（）

A、 $a = 1 + b$ B、 $b = 1 + a$ C、 $a = 1 + 2 b$ D、 $b = 1 + 2 a$

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4. 设扇形的周长为 $4 c m$ ，面积为 $1 c m^{2}$ ，则扇形的圆心角的弧度数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 函数 $f (x) = l n | \frac{e - x}{e + x} |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x) = m a x {x^{2} ， \frac{1}{x}}$ ，其中 $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ，若 $\exists x \in [2 ， 4]$ ，使得关于x的不等式 $f (x) \leq f (a)$ 成立，则正实数a的取值范围为（）

A、 $a \geq 2$ 或 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ B、 $a \geq 2$ 或 $0 < a \leq \frac{1}{4}$ C、 $a \geq 4$ 或 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ D、 $a \geq 4$ 或 $0 < a \leq \frac{1}{4}$

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7. 已知 $g (x) = x + \frac{b}{x}$ ，若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (1 ， 2)$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} > 1$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ），则实数b的取值范围为（）

A、 $b \geq 2$ B、 $b \leq 2$ C、 $b \geq 8$ D、 $b \leq 8$

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8. 已知 $a = \frac{17}{18}$ ， $b = c o s \frac{1}{3}$ ， $c = 3 s i n \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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二、多选题

9. 已知 $a > b$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $a | a | > b | b |$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (3 x + φ) (0 < φ < π)$ 对任意实数t都有 $f (t + \frac{π}{3}) = f (- t + \frac{π}{3})$ ，记 $g (x) = c o s (3 x + φ)$ ，则（）

A、 $g (x) \leq g (- \frac{π}{6})$ B、 $g (x)$ 图象可由 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 C、 $g (\frac{π}{3}) = 0$ D、 $g (x)$ 在 $[\frac{π}{3} ， π]$ 上单调递减

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11. 已知正实数x，y满足 $2 x + y = x y$ ，则（）

A、 $x y \geq 8$ B、 $x + y \geq 6$ C、 $\frac{1}{x - 1} + \frac{8}{y} \geq 4$ D、 $2 x^{2} y + y^{2} \geq 48$

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12. 已知 $f (x)$ 为非常值函数，若对任意实数x，y均有 $f (x + y) = \frac{f (x) + f (y)}{1 + f (x) \cdot f (y)}$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 是 $(0 ， + ∞)$ 上的增函数 C、 $| f (x) | < 1$ D、 $f (x)$ 是周期函数

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三、填空题

13. 已知角 $α$ 的顶点在原点，以x轴非负半轴为始边，若角 $α$ 的终边经过点 $P (- \sqrt{3} ， 1)$ ，则 $c o s (π + α) =$ .

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14. 黑嘴鸥被世界自然保护联盟列为易危物种，全球数量只有2万只左右.据温州网2022年11月26日的报道，今年越冬候鸟黑嘴鸥已到达温州湾，人们可以在密集的芦苇丛中进行观赏.研究发现黑嘴鸥的飞行速度（单位：m/s）可以表示为函数 $v = 10 l o g_{3} x - 20$ ，其中x表示黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数.已知黑嘴鸥在飞往温州湾的过程中，最低飞行速度为10m/s，最高飞行速度为30m/s，则黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数的取值范围是.

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15. 若 $c o s (x - 2 0^{°}) = 2 c o s x s i n 1 0^{°}$ ，则 $t a n x =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - | x - 1 | ， x \leq 2 \\ - f (x - 2) ， x > 2 \end{array}$ ，若关于x的方程 $2 [f (x)]^{2} - m f (x) - 1 = 0$ 在 $(0 ， 2 n)$ （ $n \in N_{+}$ ）内恰有7个实数根，则 $n - m =$ .

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | \frac{3}{x + 1} > 1}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - a < 0}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A ∩ B$ ；

(2)、若 $A ∪ B = A$ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知 $\frac{t a n (α + \frac{π}{4}) - 1}{t a n (α + \frac{π}{4}) + 1} = 7$ .

(1)、求 $c o s 2 α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 s i n^{2} α - s i n 2 α}{1 + t a n α}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (ω x - \frac{π}{3}) + c o s 2 ω x$ （ $ω > 0$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 的周期是 $π$ ，求 $ω$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[\frac{3}{2} ， 2]$ ，求 $ω$ 的取值范围.

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20. 车流密度是指在单位长度（通常为1km）路段上，一个车道或一个方向上某一瞬时的车辆数，用以表示在一条道路上车辆的密集程度在理想的道路和交通条件下，某城市普通道路的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数.研究表明：该城市普通道路车流密度达到160辆/千米时，会造成堵车，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过60辆/千米时，车流的速度为60千米/小时；当 $60 \leq x \leq 160$ 时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

(1)、当 $0 < x \leq 160$ 时，求车流速度函数 $v (x)$ 的表达式；

(2)、求该城市普通道路的最大通行能力（通行能力=车流速度×车流密度），并结合生活实际给出该道路合理限速建议.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} + a}{2^{x}}$ 为偶函数.

(1)、求出a的值，并写出单调区间；

(2)、若存在 $x \in [0 ， 1]$ 使得不等式 $b f (2 x) + 1 \geq f (x)$ 成立，求实数b的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = | a x^{2} - b | + a x^{2} + b x$ （ $a > 0$ ）.

(1)、若 $a = b = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个不同的零点 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ ，求 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的取值范围.

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