浙江省丽水发展协作体2022-2023学年高三上学期数学1月期末试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 0 < x \leq 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， + ∞)$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $[0 ， 1)$

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2. 设 $z = 3 + 4 i$ ，则 $z i + \bar{z} - i =$ （）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 已知向量 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1 ， | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ C、 $π$ D、 $\sqrt{3} π$

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5. 有5本不同的书，其中语文书2，数学书3，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 将函数 $f (x) = s i n (ω x) (ω > 0)$ 的图像向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度得到的图像与原图像重合，则 $ω$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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7. 已知 $a = 3^{e} ， b = e^{3} ， c = π^{3}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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8. 将菱形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，当四面体 $B - A C D$ 体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{12}$

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二、多选题

9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ， E$ 是 $B C_{1}$ 中点，则（）

A、 $A E / /$ 面 $A_{1} B B_{1}$ B、 $B D_{1} ⊥ A C$ C、 $A_{1} E ⊥ A D_{1}$ D、 $A_{1} E ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，且 $f (0) = 0 ， f (x - 1) + 1$ 为奇函数，下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 对称中心为 $(1 ， 1)$ B、 $f (- 1) + 1 = 0$ C、 $f (3) + f (- 1) = - 2$ D、 $f (- 3) + f (1) = - 2$

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11. 抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ，过焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（点A在第一象限）， $M (0 ， - 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $| A B |$ 最小值为4 B、 $∠ A M B$ 有可能是钝角 C、当直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ 时， $△ A F M$ 与 $△ B F M$ 面积之比为3 D、当直线 $A M$ 与抛物线 $C$ 只有一个公共点时， $| A B | = 4$

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12. 已知 $e$ 为自然对数的底数，设 $f (x) = (x - 1) (l n x - 1)^{k} (k = 1 ， 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $k = 1$ 时， $f (x)$ 既有极小值又有极大值 B、当 $k = 1$ 时， $f (x)$ 只有极小值无极大值 C、当 $k = 2$ 时， $f (x)$ 既有极小值又有极大值 D、当 $k = 2$ 时， $f (x)$ 只有极小值无极大值

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三、填空题

13. ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为.

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14. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} ： (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$ 相交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B | =$ .

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15. 若函数 $f (x) = a x + s i n x$ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数 $a$ 是.

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16. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，若 $E$ 上存在不同的两点 $A ， B$ 使得 $\vec{F_{1} A} = 3 \vec{F_{2} B}$ ，则该椭圆离心率的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n ， n \in N^{*} ， b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

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18. 已知锐角 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .若 $b s i n B - c s i n C = (b - a) s i n A$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，求 $a - b$ 的范围.

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19. 已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， B C = 1$ ，现将 $△ A C D$ 沿对角线 $A C$ 向上翻折得到四面体 $D_{1} - A B C$ ，且 $B D_{1} = \sqrt{3}$ .

(1)、求点 $B$ 到平面 $D_{1} A C$ 的距离；

(2)、求二面角 $C - A D_{1} - B$ 的大小.

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20. 为了解学生玩手机游戏情况，随机抽取100名男生和100名女生，通过调查得到如下数据：100名女生中有10人会玩手机游戏，100名男生中有40人会玩手机游戏.

附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、判断是否有99%认为性别与玩手机游戏有关联；

(2)、以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中玩手机游戏人数为

X

，求

X

的分布列、数学期望和方差.

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

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21. 已知 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 左右顶点，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，直线 $x = \frac{1}{2}$ 上一点 $P$ 与点 $A$ 连线与双曲线右支交于另一点 $C$ ，点 $P$ 与点 $B$ 连线与双曲线右支交于另一点D.

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、直线 $C D$ 是否经过定点？若是，求出该定点.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{\sqrt{x}}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(\frac{1}{4} ， f (\frac{1}{4}))$ 处的切线方程；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 为方程 $f (x) = k$ 的两个不相等的实根，证明：
（i） $f (x) \geq \frac{e}{2} x + \frac{e}{2}$ ；

（ii） $| x_{1} - x_{2} | \leq (\frac{e^{4}}{2} + \frac{2}{e}) k - \frac{9}{4}$ .

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