云南省玉溪市2022-2023学年高一上学期数学教学质量检测试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | - a < x - b < a}$ ．若“ $a = 1$ ”是“ $A ∩ B ≠ ∅$ ”的充分条件，则实数b的取值范围是（）

A、 ${b | - 2 \leq b < 0}$ B、 ${b | 0 < b \leq 2}$ C、 ${b | - 2 < b < 2}$ D、 ${b | - 2 \leq b \leq 2}$

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2. 已知 $a > b > 1 ， c > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{a + b c}{b + a c} < \frac{1}{c}$ B、 $\frac{a + b c}{b + a c} < \frac{1}{a}$ C、 $\frac{a + b c}{b + a c} < c$ D、 $\frac{a + b c}{b + a c} < a$

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3. 若函数f(x)＝ ${\begin{array}{l} a^{x} ， x > 1 \\ (4 - \frac{a}{2}) x + 2 ， x \leq 1 \end{array}$ 是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）

A、(1，＋∞) B、(1，8) C、(4，8) D、[4，8)

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4. 《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为 $\frac{π}{8}$ 米，一只手臂长约为 $\frac{π}{4}$ 米，“弓”所在圆的半径约为 $\frac{15}{16}$ 米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（）

A、 $\frac{15}{16}$ 米 B、 $\frac{15 \sqrt{2}}{16}$ 米 C、 $\frac{15 \sqrt{3}}{16}$ 米 D、 $\frac{15 \sqrt{3}}{32}$ 米

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5. 已知 $2 s i n^{2} θ - 3 s i n θ - 2 = 0$ ， $θ \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，则 $c o s θ$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 把函数 $y = f (x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = \sin (x - \frac{π}{4})$ 的图像，则 $f (x) =$ （）

A、 $\sin (\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12})$ B、 $\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ C、 $\sin (2 x - \frac{7 π}{12})$ D、 $\sin (2 x + \frac{π}{12})$

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7. 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的 $0.5 %$ .已知在过滤过程中的污染物的残留数量 $P$ （单位：毫克/升）与过滤时间 $t$ （单位：小时）之间的函数关系为 $P = P_{0} \cdot e^{- k t}$ （ $k$ 为常数， $P_{0}$ 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤 $n$ 小时，则正整数 $n$ 的最小值为（）（参考数据：取 $l o g_{5} 2 = 0.43$ ）

A、8 B、9 C、10 D、17

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8. 已知f(x)的定义域为R，且是最小正周期为2的周期函数.当 $0 \leq x < 2$ 时，f(x)＝x³－x，则函数y＝f(x)的图象在区间［0，6］上与x轴的交点个数为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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二、多选题

9. 能正确表示图中阴影部分的是（）

A、 $N ∩ (∁_{U} M)$ B、 $M ∩ (∁_{U} N)$ C、 $(∁_{U} M) ∩ (∁_{U} N)$ D、 $[∁_{U} (M ∩ N)] ∩ N$

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10. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）

A、 $sin(x + \frac{π}{3} ）$ B、 $sin(\frac{π}{3} - 2 x)$ C、 $cos(2 x + \frac{π}{6} ）$ D、 $cos(\frac{5 π}{6} - 2 x)$

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11. 德国数学家狄利克雷 $(1805 ~ 1859)$ 在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数 $D (x)$ ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数 $D (x)$ 的性质正确的有：（）

A、 $D (\sqrt{2}) = 0$ B、 $D (x)$ 的值域为 ${0 ， 1}$ C、 $D (x)$ 为奇函数 D、 $D (x - 1) = D (x)$

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12. 气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标．某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从 $6 h$ 到 $14 h$ 的温度变化，其变化曲线近似满足函数 $y = A s i n (ω x + φ) + b$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ），该函数图象如图，则（）

A、 $φ = \frac{3 π}{4}$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $16 π$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) + f (x + 8) = 40$ D、若 $g (x) = f (x + m)$ 是偶函数，则 $| m |$ 的最小值为2

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三、填空题

13. 已知函数f(x)为奇函数，定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2022)＋f(2019)＝.

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14. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + b + 3$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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15. 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax²＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f( $\frac{9}{2}$ )＝.

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16. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约年.（参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ ）

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $l n (e \sqrt{e}) + l o g_{2} (l o g_{3} 81) + 2^{1 + l o g_{2} 3} + \frac{l o g_{\sqrt{3}} 2 + 2 l o g_{3} 5}{l o g_{9} \frac{1}{4} - \frac{1}{3} l o g_{3} 125}$ ；

(2)、若 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ ，求 $x + x^{- 1}$ 的值.

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18. 已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq a + 1}$ ， $B = {x | \frac{x - 5}{x + 3} \leq 0}$ ．

(1)、若 $a = - 3$ ，求 $A ∪ B$ ；

(2)、在① $A ∩ B = \emptyset$ ， ② $B \cup (∁_{R} A) = R$ ， ③ $A \cup B = B$ ，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s 2 x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、填上面表格并用“五点法”画出 $f (x)$ 在一个周期内的图象．

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20. 设关于x的二次函数 $f (x) = 2 m x^{2} - m x - 1$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，解不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若不等式 $f (x) > m - 10$ 在 $[0 ， 2]$ 上恒成立，求实数m的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{3 (1 + 2^{x})} - \frac{1}{3}$ 为奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (f (x)) + f (\frac{31}{99}) < 0$ ．

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22. 某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为200每生产 $x$ 台 $(x \in N_{+})$ 需要另投入成本 $a (x)$ （万元），当年产量 $x$ 不足45， $a (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 30 x - 300$ 万元，当年产量 $x$ 不少于45， $a (x) = 61 x + \frac{2500}{x + 1} - 900$ 万元．若每台设备的售价为60，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．

(1)、求年利润 $y$ （万元）关于年产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、年产量 $x$ 为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

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