新高考地区2022-2023学年高三下学期数学开学考试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | \sqrt{x} \leq 2}$ ， $N = {x | - 3 < x < 1}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | - 3 < x \leq 4}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 4}$ D、 ${x | 0 \leq x < 1}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 + 3 i}{3 - m i} (m \in R)$ 是纯虚数，则 $m =$ （）

A、3 B、1 C、-1 D、-3

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3. 古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km，上底面的边长为40km，若水库的最大蓄水量为 $\frac{28}{3} \times 1 0^{9} m^{3}$ ，则水库深度（棱台的高）为（）

A、10m B、20m C、30m D、40m

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4. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过焦点F的直线 $4 x + 3 y - 4 = 0$ 与C在第四象限交于M点，则 $| M F | =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 若 $α \in (0 ， π)$ ， $s i n 2 α (1 + t a n α) = 2$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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6. 某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：

月份代号x	1	2	3	4	5	6	7
在线外卖规模y（百万元）	11	13	18	★	28	★	35

其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 来拟合预测，且7月相应于点 $(7 ， 35)$ 的残差为 $- 0.6$ ，则 $\hat{a} - \hat{b} =$ （）

A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0

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7. 已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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8. 已知曲线 $y = f (x) = 2 e^{x}$ 在点 $A$ 处的切线 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，曲线 $y = g (x) = - 2 e^{x}$ 在点 $C$ 处的切线 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $| A B | + | C D |$ 的取小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 和 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 都相切的直线的方程为（）

A、 $y = 2 \sqrt{2} x - 3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $y = - 2 \sqrt{2} x - 3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $y = 2 \sqrt{2} x - 3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $y = 1$

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10. 记函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) + b (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $T$ ，且 $f (\frac{T}{4}) = - 2$ ，函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， - 3)$ 对称，则（）

A、 $b = - 1$ B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、 $s i n (\frac{π}{4} + φ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、当 $ω$ 取得最小值时， $f (\frac{π}{8}) = - 2$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距长为 $2$ ，点 $P (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 为椭圆 $C$ 上一点， $A$ 、 $B$ 是椭圆 $C$ 上关于坐标原点 $O$ 对称的两点（ $A$ 、 $B$ 非椭圆顶点），过 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $D$ ，直线 $B D$ 交椭圆于另一点 $M$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $A M ⊥ A B$ C、若 $D$ 为椭圆的一个焦点时，则 $△ A B D$ 的面积为 $\sqrt{2}$ D、若 $| O D | = | A D |$ ，则 $△ A B D$ 的面积为 $\frac{2}{3}$

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12. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) - g (1 + x) = 2$ ， $g (x) + f (3 - x) = 4$ ，若 $g (x)$ 为偶函数， $f (3) = 1$ ，则（）

A、 $g (2) = 1$ B、 $g (4) = - 2$ C、 $g (x) = g (8 + x)$ D、 $\sum_{k = 1}^{28} g (k) = 26$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{m} = (- 1 + a ， 2 - a)$ ， $\vec{n} = (3 - a ， 4 + a)$ ，若 $(\vec{m} + \vec{n}) / / \vec{m}$ ，则实数 $a =$ ．

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14. 已知 ${(2 x - \frac{1}{m x} - 1)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为-40，则实数 $m =$ ．

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15. 已知 $f (x) = (x - 1) e^{x} - l n x$ ， $x_{0}$ 是该函数的极值点，定义 $⟨ x ⟩$ 表示超过实数x的最小整数，则 $f (⟨ x_{0} ⟩)$ 的值为．

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16. 现取长度为2的线段 $M N$ 的中点 $M_{1}$ ，以 $M M_{1}$ 为直径作半圆，该半圆的面积为 $S_{1}$ （图1），再取线段 $M_{1} N$ 的中点 $M_{2}$ ，以 $M_{1} M_{2}$ 为直径作半圆．所有半圆的面积之和为 $S_{2}$ （图2），再取线段 $M_{2} N$ 的中点 $M_{3}$ ，以 $M_{2} M_{3}$ 为直径作半圆，所有半圆的面积之和为 $S_{3}$ ，以此类推，则 $\sum_{i = 1}^{n} i S_{i} =$ ．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $s i n (B - C) t a n A = s i n B s i n C$ ．

(1)、证明： $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 为定值；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ， $c o s C = \frac{3}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = 5$ ， $S_{n} - n = \frac{n a_{n}}{2}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{9 n^{2} + 12 n + 1}{a_{n + 1}^{2}}$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} > n - \frac{1}{2}$ ．

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19. 青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间 $[50 ， 100]$ 中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
分数
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100]$
频率
0.15
0.25
$m$
0.30
0.10

(1)、试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)、用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在 $[70 ， 100]$ 的人数，求 $X$ 的分布列与数学期望．

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 4$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = \sqrt{6}$ ．

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P D = 4$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ ，点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于第一象限的点 $A$ ，且 $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长为 $8 (\sqrt{2} + 1)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k x - 1$ 与双曲线的左支、右支分别交于 $N$ ， $M$ 两点，与直线 $y = x$ ， $y = - x$ 分别交于P，Q两点，求 $\frac{| M N |}{| P Q |}$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x - \frac{2}{x^{2}} + \frac{a}{x}$ （ $a \in R$ ）．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）是 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < \frac{1}{2} a^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{8} a^{2}$ ．

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分数	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
频率	0.15	0.25	$m$	0.30	0.10