山西省运城市2022-2023学年高三上学期数学期末调研测试试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集U＝R，A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、{x|1≤x＜3} B、{x|1＜x≤3} C、{x|1＜x＜3} D、{x|1≤x≤3}

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2. 已知 $a \in R ， z = \frac{a + i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位）是纯虚数，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{2} x$ ，则 $C$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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4. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若 $A B ， C D$ 都是直角圆锥 $S O$ 底面圆的直径，且 $∠ A O D = \frac{π}{3}$ ，则异面直线 $S A$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{x - x^{3}}{2^{x}}$ B、 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{e^{| x |}}$ C、 $f (x) = x^{3} \cdot l n | x |$ D、 $f (x) = e^{| x |} \cdot (x^{2} - 1)$

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6. 已知 $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ，若 $\frac{2 + 2 s i n 2 α}{1 - c o s 2 α} = 9$ ，则 $\frac{c o s α + s i n α}{c o s α - s i n α} =$ （）

A、-3 B、3 C、 $\frac{9}{7}$ D、 $- \frac{9}{7}$

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7. 已知实数 $a ， b$ 满足 $e^{2 - a} = a ， b (l n b - 1) = e^{3}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，则 $a b$ 的值为（）

A、 $e$ B、 $e^{2}$ C、 $e^{3}$ D、 $e^{4}$

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8. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_{n} = (- 1)^{n} a_{n} - 2^{- n}$ ，则 $S_{5} + S_{6} =$ （）

A、 $- \frac{1}{64}$ B、 $- \frac{1}{32}$ C、 $- \frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{64}$

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二、多选题

9. 近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A、图中 $a = 0.028$ B、在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人 C、估计短视频观众的平均年龄为32岁 D、估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (3 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 满足 $f (\frac{π}{12} + x) = - f (\frac{π}{12} - x)$ B、将函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后与 $g (x) = c o s 3 x$ 图像重合 C、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ D、若 $y = | f (x) |$ 在 $[a ， b]$ 上单调递减，那么 $b - a$ 的最大值是 $\frac{π}{3}$

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11. 已知直线 $l ： x - y + 5 = 0$ ，过直线上任意一点 $M$ 作圆 $C ： (x - 3)^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，则有（）

A、 $| M A |$ 长度的最小值为 $4 \sqrt{2} - 2$ B、不存在点 $M$ 使得 $∠ A M B$ 为 $6 0^{∘}$ C、当 $| M C | \cdot | A B |$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为 $x - 2 y - 1 = 0$ D、若圆 $C$ 与 $x$ 轴交点为 $P ， Q$ ，则 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 的最小值为28

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12. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C ， A B = B C = B B_{1} = 2 ， D$ 是 $A C$ 的中点， $O$ 为 $A_{1} C$ 的中点．点 $P$ 是 $B C_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、无论点 $P$ 在 $B C_{1}$ 上怎么运动，都有 $A_{1} P ⊥ O B_{1}$ B、当直线 $A_{1} P$ 与平面 $B B_{1} C_{1}$ 所成的角最大时，三棱锥 $P - B C D$ 的外接球表面积为 $4 π$ C、若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，内放有一球，则球的最大体积为 $\frac{4 π}{3}$ D、 $△ O P B_{1}$ 周长的最小值 $\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1$

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三、填空题

13. 已知 $(2 x - 3)^{7} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + ⋯ + a_{7} (x - 1)^{7}$ ，则 $a_{2} =$ ．

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14. 已知 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 3 ， | \vec{a} - \vec{b} | = 4$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为．

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15. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x - \frac{3}{2}) - f (- x - \frac{3}{2}) = 0 ， f (2022) = \frac{1}{e}$ ，若 $f (x) > f^{'} (- x)$ ，则不等式 $e f (x + 3) > \frac{1}{e^{x}}$ 的解集为．

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16. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2} ， M ， N$ 为椭圆上位于x轴上方的两点，且满足 $F_{1} M ∥ F_{2} N$ ，若 $| F_{2} N | ， | F_{2} M | ， | F_{1} M |$ 构成公比为2的等比数列，则C的离心率为．

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四、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{7} = 18 ， a_{1} + a_{5} = 10$ ，各项均为正数的等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{3} + b_{5} = \frac{5}{16} ， b_{1} b_{5} = \frac{1}{16}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{(a_{n} + n + 2)}{2} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足： $\begin{matrix} \frac{c o s C}{a c o s B + b c o s A} = \frac{c o s A + c o s B}{a + b} . \end{matrix}$

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 3$ ，角 $A$ 与角 $B$ 的内角平分线相交于点 $D$ ，求 $△ A B D$ 面积的取值范围．

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19. 为了迎接2022年世界杯足球赛，某足球俱乐部在对球员的使用上一般都进行一些数据分析，在上一年的赛季中，A球员对球队的贡献度数据统计如下：

球队胜
球队负
总计
$A$ 上场
22
$r$
$A$ 未上场
$s$
12
20
总计
50
附表及公式：
$P (χ^{2} ≥ k)$
0.15
0.10
0.05
0.010
0.005
$k$
2.027
2.706
3.841
6.635
7.879
$\begin{matrix} χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} \end{matrix}$ ．

(1)、求 $r ， s$ 的值，据此能否有99%的把握认为球队胜利与 $A$ 球员有关；

(2)、根据以往的数据统计， $B$ 球员能够胜任前锋､中锋､后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为： $0.2 ， 0.3 ， 0.2 ， 0.3$ ，当出任前锋､中锋､后卫以及守门员时，球队赢球的概率依次为： $0.2 ， 0.2 ， 0.4 ， 0.3$ ，则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛赢球的概率；
②当他参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求 $B$ 球员担当守门员的概率；
③在2022年的4场联赛中，用X表示“球队赢了比赛的条件下 $B$ 球员担当守门员”的比赛场次数，求 $X$ 的分布列及期望．

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20. 如图，水平面上摆放了两个棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正四面体 $P A B D$ 和 $Q A B C$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ P Q$ ；

(2)、求二面角 $P - A Q - B$ 的余弦值．

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ．

(1)、如图所示，线段 $A B$ 为过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的弦，动点 $P$ 在线段 $A B$ 上，过点 $P$ 且斜率为1的直线 $l$ 与抛物线交于 $N (x_{1} ， y_{1}) ， M (x_{2} ， y_{2})$ 两点，请问 $y_{1} + y_{2}$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；

(2)、过焦点 $F$ 作直线 $l_{0}$ 与 $C$ 交于 $E ､ Q$ 两点，分别过 $E ､ Q$ 作抛物线 $C$ 的切线，已知两切线交于点 $R (- 1 ， m)$ ，求证：直线 $R Q$ ､ $R F$ 、 $R E$ 的斜率成等差数列．

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22. 已知 $f (x) = - l n (1 - x) - x$ ．

(1)、求证： $f (x) \geq 0$ 恒成立；

(2)、令 $g (x) = x + \frac{2}{π} c o s π x$ ，讨论 $F (x) = f (x) + g (x)$ 在 $x \in (- \frac{3}{2} ， 1)$ 上的极值点个数．

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	球队胜	球队负	总计
$A$ 上场	22	$r$
$A$ 未上场	$s$	12	20
总计			50

$P (χ^{2} ≥ k)$	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005
$k$	2.027	2.706	3.841	6.635	7.879