山西省太原市2023届高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x < 0} ， B = {x | y = l g (x - 1)}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$

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2. 设复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 + i (i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1 ， | \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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4. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池， $A A_{1}$ 垂直于底面， $A B C D$ ， $A A_{1} = 3$ ，底面扇环所对的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，弧 $A D$ 的长度是弧 $B C$ 长度的2倍， $C D = 1$ ，则该曲池的体积为（）

A、 $\frac{9 π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{9 π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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5. 某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（）

A、96 B、120 C、240 D、360

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6. 已知 $s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $- \frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $- \frac{5}{9}$

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7. 如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设 $f (m ， n)$ 表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是（）
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
12
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
1
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…

A、 $f (3 ， 18) < 49$ B、 $f (6 ， 8) > 49$ C、 $f (7 ， 7) = 49$ D、 $f (12 ， 4) = 49$

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8. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (2 x - 2) ， g (x - 1)$ 均为偶函数，当 $x \in [- 2 ， 0]$ 时， $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + b$ ，且 $f (- 1) = 1$ ，则 $\sum_{n = 1}^{20} | f (n) | =$ （）

A、20 B、30 C、35 D、40

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二、多选题

9. 已知正数x，y满足 $x + y = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y$ 的最大值是1 B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是4 C、 $x (y - 1)$ 的最大值是 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是1

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、将函数 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度可以得到函数 $f (x)$ 的图像 D、方程 $f (x) = \sqrt{2}$ 在 $(0 ， 3 π)$ 上有7个不相等的实数根

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A ， B$ 两个不同点，则下列结论正确的是（）

A、若点 $P (2 ， 2)$ ，则 $| A F | + | A P |$ 的最小值是3 B、 $| A B |$ 的最小值是2 C、若 $| A F | \cdot | B F | = 12$ ，则直线 $A B$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、过点 $A ， B$ 分别作抛物线 $C$ 的切线，设两切线的交点为 $Q$ ，则点 $Q$ 的横坐标为-1

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12. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为2，侧棱 $A A_{1} = 3$ ， P为上底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 上的动点，M为棱 $A D$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $P - C D M$ 的体积为定值1 B、当直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ 时，点P的轨迹长度为 $\frac{3 π}{4}$ C、若直线 $P D$ $∥$ 平面 $A C B_{1}$ ，则线段 $P D$ 长度的最小值为 $\sqrt{11}$ D、直线 $P M$ 被正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球所截得线段长度的取值范围是 $[\sqrt{13} ， \sqrt{17}]$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + a l n x$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线经过坐标原点，则实数 $a =$ ．

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14. $(1 - 3 x^{2}) {(x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中常数项为．（用数字作答）

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15. 在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设 $A =$ “试验结果为阳性”， $B =$ “试验者患有此癌症”，据临床统计显示 $P (A | B) = 0.99$ ， $P (\bar{A} | \bar{B}) = 0.98$ ．已知某地人群中患有此种癌症的概率为0.001，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为．

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16. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为 $T$ ，延长 $F_{2} T$ 交双曲线 $E$ 的左支于点 $P$ ．若 $| P F_{2} | > \frac{3}{2} | T F_{2} |$ ，则双曲线 $E$ 离心率的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} a_{2 n + 1} \cdot l o g_{2} a_{2 n + 3}} (n \in N^{*})$ ，记 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若对任意正整数的n，不等式 $T_{n} < λ$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值．
条件① $a_{2} = a_{1} + 2$ ，且 $2 a_{n} = a_{1} + S_{n}$ ；条件② ${a_{n}}$ 为等比数列，且满足 $S_{n} = 2^{n + 1} + k$ ；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $b^{2} + b c = a^{2}$ ．

(1)、求证： $A = 2 B$ ；

(2)、求 $\frac{6 b + 2 c}{b c o s B}$ 的取值范围．

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19. 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，整理测量结果得到如下频率分布直方图：

(1)、求这500件产品质量指标值的样本平均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x} ， σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ．
（ⅰ）利用该正态分布，求 $P (175.6 < Z < 224.4)$ ；
（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间 $(175.6 ， 224.4)$ 的产品件数．利用（ⅰ）的结果，求 $E (X)$ ．
附： $\sqrt{150} \approx 12.2$ ；若 $Z \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6826 ， P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

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20. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， O为 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $A O ⊥ B C$ ；

(2)、若 $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，点E在棱 $A D$ 上， $D E = 2 E A$ ，且二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $60 °$ ，求直线 $A C$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，椭圆C经过点 $A (0 ， 2)$ ，且直线 $A F_{2}$ ，与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 相切．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线 $y = k x + 1 (k > 0)$ 与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足 $\vec{M P} \cdot \vec{P Q} + \vec{M Q} \cdot \vec{P Q} = 0$ ，求点M横坐标的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - a x^{2} + 2 a x (a > 0)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 恰有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	12	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	1	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	12	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	1	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	12	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	1	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…