山东省潍坊市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | | x - 2 | \leq 1}$ ， $B = {x | 2^{x} - 4 \geq 0}$ ，则集合 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[1 ， 2]$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(2 - i) z = i^{2023}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n x ， x \geq s i n x ， \\ x ， x < s i n x ， \end{array}$ 则 $f (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. 若一组样本数据 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $⋯$ 、 $x_{n}$ 的平均数为10，另一组样本数据 $2 x_{1} + 4$ 、 $2 x_{2} + 4$ 、 $⋯$ 、 $2 x_{n} + 4$ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（）

A、17，54 B、17，48 C、15，54 D、15，48

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5. 宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为 $n$ 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当 $n = 1$ ， 2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则 $n = 5$ 时，圆球总个数为（）

A、30 B、35 C、40 D、45

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6. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的侧棱长为 $\sqrt{3}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在线段 $P C$ ， $B C$ （不包括端点）上，且 $E F ∥ P B$ ， $∠ A E F = 90 °$ ，若点 $M$ 为三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的球面上任意一点，则点 $M$ 到平面 $A B C$ 距离的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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7. 已知 $O$ 为坐标原点， $A ， B$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的动点，且 $O A ⊥ O B$ ，过点 $O$ 作 $O H ⊥ A B$ ，垂足为 $H$ ，下列各点中到点 $H$ 的距离为定值的是（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(2 ， 0)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 1)$

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 1$ ，对 $\forall x$ ， $y \in R$ ，有 $f (x y + 1) = f (x) f (y) - f (y) - x + 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2023} \frac{1}{f (i) f (i + 1)} =$ （）

A、 $\frac{2023}{4050}$ B、 $\frac{2024}{2025}$ C、 $\frac{2023}{4048}$ D、 $\frac{2023}{2024}$

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二、多选题

9. 关于下列命题中，说法正确的是（）

A、已知 $X ∼ B (n ， p)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ B、数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78 C、已知 $ξ ∼ N (0 ， 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (- 1 \leq ξ \leq 0) = \frac{1}{2} - p$ D、某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人.

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10. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $A D_{1}$ （包括端点）上一动点，则（）

A、异面直线 $A D_{1}$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $6 0^{∘}$ B、三棱锥 $B_{1} - P B C_{1}$ 的体积为定值 C、不存在点 $P$ ，使得 $A D_{1} ⊥$ 平面 $P C D$ D、 $P B + P C$ 的最小值为 $3 + \sqrt{6}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{a \sqrt{- (x + 2) (x - 6)}}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{6 - x}}$ ，其中 $a$ 为实数，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称 B、若 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上单调递增，则 $a < 0$ C、若 $a = 1$ ，则 $f (x)$ 的极大值为1 D、若 $a < 0$ ，则 $f (x)$ 的最小值为 $a$

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12. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} - \frac{1}{2} a_{1} < a_{3} - \frac{1}{2} a_{2} < ⋯ < a_{n} - \frac{1}{2} a_{n - 1} < ⋯$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“差半递增”数列，则（）

A、正项递增数列均为“差半递增”数列 B、若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = q^{n} (q > 1)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为“差半递增”数列 C、若数列 ${a_{n}}$ 为公差大于0的等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 为“差半递增”数列 D、若数列 ${a_{n}}$ 为“差半递增”数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2^{n + 1} - t$ ，则实数 $t$ 的取值范围为 $(- \frac{32}{3} ， + \infty)$

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三、填空题

13. 如图所示， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是正弦函数 $y = s i n x$ 图象上四个点，且在 $A$ ， $C$ 两点函数值最大，在 $B$ ， $D$ 两点函数值最小，则 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot (\vec{O C} + \vec{O D}) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = 3 s i n x + 4 c o s x$ ，且 $f (x) \leq f (θ)$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，若角 $θ$ 的终边经过点 $P (4 ， m)$ ，则 $m =$ .

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15. 写出一个同时满足下列三个性质的函数 $f (x) =$ .
① $f (x)$ 是奇函数；② $f (x)$ 在 $(2 ， + ∞)$ 单调递增；③ $f (x)$ 有且仅有3个零点.

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16. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，过点 $A$ 且斜率为2的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于点 $P$ ， $Q$ .若线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ， $| A M | = \frac{\sqrt{5}}{5} a$ ，则 $C$ 的离心率 $e =$ .

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四、解答题

17. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} (a_{n} + 2) = 2 a_{n}^{2} + 5 a_{n} + 2 (n \in N *)$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} l o g_{4} (a_{n} + 1)$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c o s C s i n (A - B) = c o s B s i n (C - A)$ .

(1)、求 $t a n A$ 的最小值；

(2)、若 $t a n A = 2$ ， $a = 4 \sqrt{5}$ ，求 $c$ .

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19. 一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为 $\frac{2}{3}$ ，三个红球一个白球的概率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；

(2)、现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为 $\frac{3}{4}$ ，抽到三个小球的概率为 $\frac{1}{4}$ ，所抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记 $- 1$ 分，用 $X$ 表示抽到的小球分数之和，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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20. 已知三棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = 1$ ， $A B_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $B B_{1}$ 的中点， $D$ 是棱 $A_{1} C_{1}$ 上的点.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥ D E$ ；

(2)、若 $D$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点，平面 $D E F$ 与 $A_{1} B_{1}$ 的交点记为 $M$ ，求二面角 $M - A C - B$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $Q (\sqrt{3} ， - \frac{1}{2})$ 在 $C$ 上.

(1)、 $P$ 是 $C$ 上一动点，求 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的范围；

(2)、过 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ ，且斜率不为零的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ F_{1} M N$ 的内切圆面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - c o s x - l n (x + 1)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求证；函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴相切于原点；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0)$ ， $(0 ， + ∞)$ 各恰有一个极值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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