山东省日照市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 1 < 2^{x} < 16}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${3 ， 4}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 设 $a ， b$ 为实数，若复数 $\frac{1 + 2 i}{a + b i}$ ＝1＋i，则( )

A、 $a = \frac{3}{2} ， b = \frac{1}{2}$ B、 $a = 3 ， b = 1$ C、 $a = \frac{1}{2} ， b = \frac{3}{2}$ D、 $a = 1 ， b = 3$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $\frac{1}{x - 2} < 1$ ”是“ $x > 3$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $m ， n$ 是两条不重合的直线， $α ， β$ 是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $α / / β$ ，则 $m / / β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β ， m ⊥ n ，$ 则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m / / α$ ，则 $m ⊥ β$

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5. 若曲线 $y = - \sqrt{x + 1}$ 在点 $(0 ， - 1)$ 处的切线与曲线 $y = l n x$ 在点 $P$ 处的切线垂直，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(e ， 1)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(2 ， l n 2)$ D、 $(\frac{1}{2} ， - l n 2)$

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6. 安排4名小学生参与社区志愿服务活动，有4项工作可以参与，每人参与1项工作，每项工作至多安排2名小学生，则不同的安排方式有（）

A、168种 B、180种 C、192种 D、204种

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7. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，双曲线上的点 $P$ 到原点的距离为 $b$ ，且 $s i n ∠ P F_{2} F_{1} = 3 s i n ∠ P F_{1} F_{2}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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二、多选题

8. 对于抛物线上 $\frac{1}{8} x^{2} = y$ ，下列描述正确的是（）

A、开口向上，焦点为 $(0 ， 2)$ B、开口向上，焦点为 $(0 ， \frac{1}{16})$ C、焦点到准线的距离为4 D、准线方程为 $y = - 4$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{n + 1}$ ≥2 $a_{n}$ B、 ${\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}$ 是递增数列 C、{ $a_{n + 1}$ -4 $a_{n}$ }是递增数列 D、 $a_{n} \geq n^{2} - 2 n + 2$

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10. 双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点 $F_{1} (- a ， 0)$ ， $F_{2} (a ， 0)$ 距离之积等于 $a^{2} (a > 0)$ 的点的轨迹称为双扭线C．已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是双扭线C上一点，下列说法中正确的有（）

A、双扭线C关于原点O中心对称； B、 $- \frac{a}{2} \leq y_{0} \leq \frac{a}{2}$ ； C、双扭线C上满足 $| P F_{1} | = | P F_{2} |$ 的点P有两个； D、 $| P O |$ 的最大值为 $\sqrt{2} a$ ．

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11. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的棱长均为 $3$ ，其内有 $n$ 个小球，球 $O_{1}$ 与三棱锥 $A - B C D$ 的四个面都相切，球 $O_{2}$ 与三棱锥 $A - B C D$ 的三个面和球 $O_{1}$ 都相切，如此类推，…，球 $O_{n}$ 与三棱锥 $A - B C D$ 的三个面和球 $O_{n - 1}$ 都相切（ $n \geq 2$ ，且 $n ∈ N^{∗}$ ），球 $O_{n}$ 的表面积为 $S_{n}$ ，体积为 $V_{n}$ ，则（）

A、 $V_{1} = \frac{\sqrt{6}}{8} π$ B、 $S_{3} = \frac{3 π}{16}$ C、数列 ${S_{n}}$ 为等差数列 D、数列 ${V_{n}}$ 为等比数列

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三、填空题

12. 二项式 $(x - \frac{a}{x})^{6}$ 的展开式中常数项为 $- 20$ ，则 $a$ 的值为．

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13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{4}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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14. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为 $90 °$ ，则图中异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D_{1}$ 所成角的余弦值为．

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15. 设正项等比数列 $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{5}$ 的公比为 $q$ ，首项 $a_{1} = 1$ ，关于 $x$ 的方程 $a_{k} x^{2} + 2 x + a_{k} = 0$ 有两个不相等的实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，且存在唯一的 $a_{k} (k = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 5)$ ，使得 $| x_{1} - x_{2} | < 2 \sqrt{15}$ ．则公比 $q$ 的取值范围为．

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四、解答题

16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin^{2} x + \sin x \cos x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的最小值及取得最小值时的x的取值集合.

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = A D = 2$ ， $M$ 是侧面 $P B C$ 上一点．

(1)、过点 $M$ 作一个截面 $α$ ，使得 $P A$ 与 $B C$ 都与 $α$ 平行．作出 $α$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 表面的交线，并证明；

(2)、设 $\vec{B M} = λ \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B P}$ ，其中 $λ \in [0 ， \frac{1}{2}]$ ．若 $P B$ 与平面 $M C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求 $λ$ 的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为非零实数，其前 $n$ 项和为 $S_{n} (S_{n} \neq 0)$ ，且 $S_{n} \cdot a_{n + 2} = S_{n + 1} \cdot a_{n}$ .

(1)、若 $S_{3} = 2$ ，求 $a_{3}$ 的值；

(2)、若 $a_{1} = a$ ， $a_{2023} = 2023 a$ ，求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，并求其前 $n$ 项和.

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19. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，椭圆的上顶点 $B (0 ， \sqrt{3})$ ，点 $A$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $3 \vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B} = \vec{0}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率及其标准方程；

(2)、圆 $C^{'}$ 圆心在原点 $O$ ，半径为 $\sqrt{2}$ ，过原点 $O$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，椭圆上一点 $P$ 满足 $O P ⊥ M N$ ，试说明直线 $P M ， P N$ 与圆 $C^{'}$ 的位置关系，并证明.

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20. 已知函数 $f (x) = s i n x - a e^{π - x} ， f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $(- π ， π)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f^{'} (π) = 0$ ，判断关于 $x$ 的方程 $f (x) = - 1$ 在 $[(2 k + 1) π ， (2 k + 2) π] ， (k \in N^{*})$ 内实数解的个数，并说明理由．

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