山东省菏泽市单县2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$ ， $N = {x | 2 x > 7}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${7 ， 9}$ B、 ${5 ， 7 ， 9}$ C、 ${3 ， 5 ， 7 ， 9}$ D、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$

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2. 命题“ $\forall x \in R ， e^{x} > 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R ， e^{x} \leq 0$ B、 $\exists x \in R ， e^{x} < 0$ C、 $\forall x \in R ， e^{x} \leq 0$ D、 $\forall x \in R ， e^{x} < 0$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} ， x < 3 \\ x - 2 ， x \geq 3 \end{matrix}$ .则 $f (f (3)) =$ （）

A、1 B、4 C、9 D、16

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4. “ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 下列区间包含函数 $f (x) = 2^{x} + x - 4$ 零点的为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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6. 三个数 $a = 0 . 3^{2} ， b = l o g_{2} 0.3 ， c = 2^{0.3}$ 之间的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ . B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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7. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 2 x^{2} - x$ ，则 $f (1) =$ （）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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8. 若 $c o s (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n (\frac{π}{3} - α) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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二、多选题

9. 下列运算正确的是（）

A、 $l g 5 + l g 2 = 1$ B、 $l o g_{4} 3 = 2 l o g_{2} 3$ C、 $e^{l n π} = π$ D、 $l g 5 \div l g 2 = l o g_{5} 2$

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10. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b ， c < d$ ，则 $a - c > b - d$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a > b > 0 ， c < d < 0$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$

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11. 设函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， 0]$ 上的最小值为0

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，下面说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $(- 1 ， 1)$ D、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 恒成立

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(2 ， 4)$ ，则 $f (3) =$ ．

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14. 函数 $y = \frac{{(x - 1)}^{0}}{\sqrt{- x + 3}}$ 的定义域是.

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15. 若不等式 $a x^{2} + a x + a + 3 \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧 $Q R T$ 是一个以 $O$ 点为圆心､ $Q T$ 为直径的半圆， $Q T = 60 \sqrt{3}$ 米.圆弧 $Q S T$ 的圆心为 $P$ 点， $P Q = 60$ 米，圆弧 $Q R T$ 与圆弧 $Q S T$ 所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为平方米.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 15} ， B = {x ∣ m - 6 < x < 2 m - 1 ， m \in R}$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、若 $A ∪ B = A$ ，且 $B ≠ ∅$ ，求 $m$ 的取值范围.

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18. 已知 $f (α) = \frac{s i n (α - 3 π) \cdot c o s (2 π - α) \cdot s i n (- α + \frac{3}{2} π)}{c o s (- π - α) \cdot s i n (- π - α)}$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $α$ 为第四象限角且 $s i n α = - \frac{3}{5}$ ，求 $f (α)$ 的值；

(3)、若 $α = - \frac{31}{3} π$ ，求 $f (α)$ ．

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19. 已知 $f (x) = l o g_{a} (x + 3) - l o g_{a} (3 - x)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、解不等式： $f (x) \geq 0$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x + m}{x^{2} + 1}$ ， $x ∈ R$ 是奇函数.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 3]$ 上的单调性，并求函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 3]$ 上的最大值和最小值.

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21. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 $y$ 万元与年产量 $x$ 吨之间的函数关系可以近似地表示为 $y = \frac{x^{2}}{5} - 24 x + 2000$ ，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.

(1)、年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本；

(2)、若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} c o s (2 x - \frac{π}{4})$ ， $x ∈ R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

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