山东省德州市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | | x - 3 | < 1}$ ， $N = {x | x^{2} - 3 x + 4 < 0}$ ，那么“ $a \in M$ ”是“ $a \in N$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知复数z满足3z－1＝（z＋2）i，则z＝（）

A、 $\frac{1}{10} - \frac{7}{10} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{10} + \frac{7}{10} i$

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3. 函数 $f (x) = (m^{2} - m + 1) x^{m^{2} - 2 m - 3} (0 \leq m \leq 3 ， m \in Z)$ 同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有 $f (- x) = f (x)$ ；②在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，则 $f (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的值为（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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4. 如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是 $4 π$ ，则制作这样一个粮仓的用料面积为（）

A、 $(\sqrt{15} + 4) π$ B、 $(2 \sqrt{15} + 4) π$ C、 $(3 \sqrt{15} + 4) π$ D、 $(4 \sqrt{15} + 4) π$

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5. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，菱形的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B O} = 1$ ，点 $E$ 是线段 $B D$ 上靠近 $D$ 的三等分点，则 $\vec{A E}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量的模长为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、1 D、2

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6. 曲线 $4 y - x^{2} = 0 (x y \geq 0)$ 上有两个不同动点 $M ， N$ ，动点 $M$ 到 $P (0 ， 4)$ 的最小距离为 $d_{1}$ ，点 $N$ 与 $Q (1 ， 3)$ 和 $R (0 ， 1)$ 的距离之和 $| N Q | + | N R |$ 的最小值为 $d_{2}$ ，则 $d_{1} + d_{2}$ 的值为（）

A、8 B、9 C、 $4 + 2 \sqrt{3}$ D、 $5 + 2 \sqrt{3}$

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7. 已知 $a = l n \frac{a}{5} + 5$ ， $b = l n \frac{b}{4} + 4$ ， $c = l n \frac{c}{4} + 5$ ，其中a，b， $c \in (0 ， 1)$ ，则（）

A、c<b<a B、c<a<b C、a<b<c D、a<c<b

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8. 已知函数f（x）＝sinx的图像与直线 $k x - y - k π = 0 (k > 0)$ 恰好有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 则 $(x_{1} - x_{3}) t a n (x_{2} - x_{3} + \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、－2 B、－1 C、0 D、1

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二、多选题

9. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 图象连续不断，且满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期T＝2 B、 $f (2022) = f (2023) = 0$ C、 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上有4个零点 D、 $(1 ， 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 2 n$ 则（）

A、 $S_{6} = 18$ B、 $a_{n} = {\begin{array}{l} n ， n 为奇数 \\ n - 1 ， n 为偶数 \end{array}$ C、数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 D、 $n$ 为奇数时， $S_{n} = n + \frac{{(n - 1)}^{2}}{2}$

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11. 设函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{e^{x}}$ ，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上为减函数 B、对 $\forall x \neq 0$ ，都有 $\frac{f (x)}{x} \geq g (x)$ 恒成立 C、对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) + 1 \geq g (x)$ 恒成立 D、函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 有两个极值点

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长是 $2$ ， $M$ 、 $N$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $D_{1} M ⊥ B_{1} C$ B、以 $D_{1}$ 为球心， $\sqrt{5}$ 为半径的球面与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线长是 $π$ C、平面 $D_{1} M N$ 截正方体所得的截面周长是 $\sqrt{2} + 2 \sqrt{13}$ D、 $D_{1} B_{1}$ 与平面 $D_{1} M N$ 所成的角的正切值是 $\sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若在锐角 $△ A B C$ 中， $f (A) = \frac{1}{2}$ ，则 $A =$ ．

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14. 已知直线 $x + 2 y - 5 k = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 3 = 0$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点．若 $| A B | \geq 2 \sqrt{3}$ ，则实数 $k$ 的取值范围是．

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15. 已知正方形 $A B C D$ ，边长为2，动点 $P$ 自点 $A$ 出发沿 $A B C D A$ 运动，动点 $Q$ 自点 $A$ 出发沿 $A D C B A$ 运动，且动点 $P$ 的速度是动点 $Q$ 的2倍，若二者同时出发，且 $P$ 到达 $A$ 时停止，另一个点 $Q$ 也停止，则该过程中 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最大值是．

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16. 如图所示，已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线的右支交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $∠ A F_{2} O$ 的取值范围为；记 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆 $O_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆 $O_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} + S_{2}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 设函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) - c o s^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $B$ 为锐角，且 $f (B + \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ ， $c = 2 a$ ， $b = \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = 4 5^{∘}$ ， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 是 $P B$ 上一点．

(1)、求证： $A C ⊥ C E$ ；

(2)、若 $E$ 是 $P B$ 的中点，直线 $C E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值．

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19. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 6$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n} = 2 b_{n} - n$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 通项公式；

(2)、求 $\sum_{k = 1}^{100} a_{k}^{2} \cdot c o s (a_{k} \cdot π)$ 的值；

(3)、证明： $\frac{2}{3} \leq \sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{b_{i}} - \frac{1}{b_{i + 1}}) < 1$ ．

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20. 由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供 $x (x \in [0 ， 10])$ （万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到 $t = k (7 - \frac{14}{x + 4})$ （万件），其中k为工厂工人的复工率 $(k \in [0.5 ， 1])$ ；A公司生产t万件防护服还需投入成本（48＋7x＋50t）（万元）．

(1)、将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；

(2)、对任意的 $x \in [0 ， 10]$ （万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在椭圆C上，以 $P F_{1}$ 为直径的圆 $E ： x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$ 过点 $F_{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，是否存在以点O为圆心的定圆与AB相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，说明理由．

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} - e x - a x (l n x - 1) (a \in R)$ ， $g (x) = f^{'} (x) + e$ 其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、当 $a < 0$ 时，判断函数 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若直线 $y = e$ 是函数 $y = g (x)$ 的切线，求实数 $a$ 的值；

(3)、当 $a > 0$ 时，证明： $g (x) \geq 2 a - a l n a$ ．

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