陕西省西安市2022-2023学年九年级上学期数学期末考试

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各点中在反比例函数y＝﹣ $\frac{1}{x}$ 的图象上的是（）

A、（﹣2，1） B、（1，﹣2） C、（﹣ $\frac{1}{2}$ ， 1） D、（ $\frac{1}{2}$ ， ﹣2）

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2. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 6 x - 4 = 0$ 时，以下变形正确的是（）

A、 $(x + 3)^{2} = 13$ B、 $(x - 3)^{2} = 13$ C、 $(x - 6)^{2} = 4$ D、 $(x + 6)^{2} = 4$

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4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 与矩形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，点 $B$ 的坐标为 $(8 ， 4)$ ，若 $A A^{'} = 2$ ，则 $C C^{'}$ 的长是（）

A、3 B、4 C、4.5 D、6

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5. 某小组作“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）

A、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

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6. 如果两点 $P_{1} (1 ， y_{1})$ 和 $P_{2} (2 ， y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，那么（）

A、 $y_{2} < y_{1} < 0$ B、 $y_{1} < y_{2} < 0$ C、 $y_{2} > y_{1} > 0$ D、 $y_{1} > y_{2} > 0$

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7. 如图， $D$ 是 $△ A B C$ 内一点， $B D ⊥ C D$ ， $A D = 12$ ， $B D = 8$ ， $C D = 6$ ， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 、 $C D$ 、 $B D$ 的中点，则四边形 $E F G H$ 的周长是（）

A、14 B、18 C、20 D、22

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8. 如图，F是线段 $C D$ 上除端点外的一点，将 $△ A D F$ 绕正方形 $A B C D$ 的顶点A顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A B E$ ．连接 $E F$ 交 $A B$ 于点H．下列结论正确的是（）

A、 $∠ E A F = 120 °$ B、 $A E ： E F = 1 ： \sqrt{3}$ C、 $A F^{2} = E H \cdot E F$ D、 $E B ： A D = E H ： H F$

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二、填空题

9. 若一元二次方程 $x^{2} + m x + 2 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值是.

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10. 若 $\frac{x - y}{y} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{x}{y}$ 的值为.

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11. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干白球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 $20 %$ 左右，则口袋中白球可能有个.

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12. 如图，一次函数 $y = k x + k$ 与反比例函数 $y = \frac{k + 2}{x}$ 在第一象限交于点 $A$ ，与坐标轴分别交于点 $B$ ， $C$ .若 $C$ 是 $A B$ 的中点，则 $k$ 的值为.

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8 ， A D = 4$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $E C$ 上一动点， $P$ 为 $D F$ 中点，连接 $P B$ ，则 $P B$ 的最小值是.

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三、解答题

14. 解方程： $(x - 3) (x - 1) = 8$

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15. 已知 $△ A B C$ 的三边长分别为6，8，10，和 $△ A B C$ 相似的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的最长边长为30，求 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，若 $A B = 5 c m ， A D = 2 c m ， A C = 4 c m$ ，求 $E C$ 的长.

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17. 如图，等腰 $Δ A B C$ 的顶角 $∠ A = 36 °$ .请用尺规作图法，在 $A C$ 上求作一点 $D$ ，使得 $Δ B D C ∽ Δ A B C$ .（保留作图痕迹，不写作法）

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18. 如图，点 $O$ 是菱形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上的一点， $C D = 6 ， O C = O D = 4$ ，求 $B D$ 的长.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，已知线段 $A_{1} B_{1}$ 与线段 $A B$ 关于原点 $O$ 中心对称，点 $A_{1} (- 1 ， 2)$ 是点 $A$ 的对应点，点 $B_{1}$ 是点 $B (3 ， 1)$ 的对应点.
⑴画出线段 $A B$ 和 $A_{1} B_{1}$ ；
⑵画出线段 $A B$ 以点 $O$ 为位似中心，位似比为 $1 ： 2$ 的线段 $A_{2} B_{2}$ .

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20. 如图是两个圆形转盘，第一个转盘被平均分成“1”“2”两个区域，第二个转盘被平均分成“1”“2”“3”“4”四个区域.

(1)、旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是；

(2)、同时旋转两个转盘，用画树状图或列表的方法求两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率.

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21. 在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为 $0.8 m$ ，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离 $E F = 10 m$ ，旗杆在教学楼墙上的影长 $F G = 1.5 m$ ，求旗杆 $D E$ 的高.

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22. “疫情”期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，确定降价促销.据调查发现，若每件商品盈利50元时，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件.设每件商品降价x元.

(1)、每件商品降价x元后，可售出商品件（用含x的代数式表示）；

(2)、若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值.

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23. 电灭蚊器的电阻 $y (k Ω)$ 随温度 $x (° C)$ 变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温 $10 ° C$ 上升到 $30 ° C$ 时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到 $30 ° C$ 时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，电阻 $y (k Ω)$ 与温度 $x (° C)$ 之间的函数式为 $y = \frac{4}{15} x - 6 (x \geq 30)$ .

(1)、当 $10 \leq x < 30$ 时，求 $y$ 与 $x$ 之间的关系式；

(2)、电灭蚊器在使用过程中，温度 $x$ 在什么范围内时，电阻不超过 $5 k Ω$ ？

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24. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB.

(1)、求证： $\frac{A B}{A E} = \frac{A C}{A D}$ ；

(2)、若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形.

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25. 如图，一次函数 $y = x - 3$ 的图像与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别交于 $A 、 B$ 两点，与反比例函数 $y = - \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图像分别交于 $C 、 D$ 两点.

(1)、动点 $P$ 在线段 $A B$ 上（不与点 $A 、 B$ 重合），过点 $P$ 作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线，垂足为 $M 、 N$ .当矩形 $O M P N$ 的面积为2时，求出点 $P$ 的位置；

(2)、在 $x$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得以 $A 、 B 、 E$ 为顶点的三角形与 $△ B O C$ 相似？若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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26. 【问题提出】

(1)、如图①，矩形 $D E F G$ 的四个顶点都在 $△ A B C$ 的三条边上，其中 $S_{△ A B C} = 15 ， B C = 6 ， D E = 4$ ，求矩形 $D E F G$ 的面积；

(2)、【问题解决】
小红同学参加了物理课外兴趣小组.图②是其制作的一个光电感应装置在某时刻的平面情景图，在边长为 $20 c m$ 的正方形 $A B C D$ 中， $P$ 为 $A B$ 的中点，点 $P$ 位置是一个激光发射器，可以左右来回 $180 °$ 转动，同时在正方形 $A B C D$ 内发出两条互相垂直的蓝色光线 $P E 、 P F$ ，点 $E 、 F$ 是落在 $A D 、 D C 、 C B$ 三边上的两个光点， $E 、 F 、 P$ 三点会在正方形 $A B C D$ 内自动感应出一个发光 $△ P E F$ ，请问在激光器转动发射的过程中，形成的 $△ P E F$ 面积有无最大值，如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由.

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