广西壮族自治区贺州市平桂区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. $t a n 45 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（）

A、y＝ $\frac{x}{6}$ B、y＝6x C、x+y＝6 D、y＝ $\frac{6}{x}$

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3. 抛物线 $y = 3 (x + 6)^{2} + 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(3 ， 6)$ B、 $(3 ， - 6)$ C、 $(6 ， 3)$ D、 $(- 6 ， 3)$

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4. 如果线段 $a = 5 m m ， b = 10 m m$ ，那么 $\frac{a}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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5. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A C$ 与 $B D$ 相交于点O，则下列三角形中，与 $△ A O D$ 一定相似的是（）

A、 $△ B O C$ B、 $△ A O B$ C、 $△ D O C$ D、 $△ A B C$

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6. 关于二次函数 $y = 3 {(x - 2)}^{2} + 2$ 的图象，下列说法正确的是（）

A、函数的最大值是2 B、当 $x > 2$ 时，y随x的增大而增大 C、图象的开口向下 D、当 $x < 2$ 时，y随x的增大而增大

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7. 已知 $△ A B C ∽ △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，且 $\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{2}{3}$ .若 $△ A B C$ 的周长为8，则 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的周长是（）

A、4 B、8 C、12 D、18

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8. 已知二次函数 $y = (k - 3) x^{2} + 2 x + 1$ 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A、 $k \leq 4$ 且 $k \neq 3$ B、 $k < 4$ 且 $k \neq 3$ C、 $k < 4$ D、 $k \geq 4$

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9. 若点 $A （ - 1 ， y_{1} ）， B （ 2 ， y_{2} ）， C （ 3 ， y_{3} ）$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，则 $y_{1} 、 y_{2} 、 y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$ B、 $y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$ C、 $y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1}$ D、 $y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinB的值为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{12}{13}$

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $M$ 为 $B C$ 上一点， $M E ⊥ A M$ ， $M E$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，若 $A B = 8$ ， $B M = 6$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、 $\frac{26}{3}$ B、 $\frac{25}{3}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{12}{13}$

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12. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0$ ）图象的一部分，与 $x$ 轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线 $x = 1$ .对于下列说法：① $a b < 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $3 a + c > 0$ ；④ $a + b \geq m (a m + b)$ （ $m$ 为实数）；⑤当 $- 1 < x < 3$ 时， $y > 0$ ，其中正确的是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 已知 $2 y = 5 x$ ，则 $x ： y =$ .

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14. 二次函数 $y = a x^{2}$ 的图像经过点 $(- 2 ， 8)$ ，则 $a$ 的值为 .

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15. 在锐角三角形 $A B C$ 中， $s i n B = \frac{1}{2}$ ，则 $∠ B$ 的大小是 .

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16. 如图， $△ A B C$ 的面积为8，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，则四边形 $B C E D$ 的面积为.

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $D E ⊥ A B$ ， $B E = 2$ ， $c o s A = \frac{3}{5}$ ，则菱形的周长为 .

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18.
如图所示，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为

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19. 计算： $| \sqrt{3} - 2 | + 202 0^{∘} + {(- \frac{1}{3})}^{- 1} + 3 t a n 3 0^{∘}$

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三、解答题

20. 如图，在边长均为1的小正方形网格中，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

(1)、请在网格中画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、直接写出 $∠ C^{'}$ 的正弦值.

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $E D ∥ C A$ .若 $B E = 5$ ， $E C = 6$ ， $A C = 10$ ，求 $A D$ 的长.

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22. 如图，一次函数 $y_{1} = x + 3$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的横坐标为 $- 2$ .

(1)、求 $m$ 的值及点 $B$ 的坐标；

(2)、根据图象，当 $y_{1} < y_{2}$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围.

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23. 一种商品每件售价为10元，一周可卖出50件.市场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件.已知该商品进价每件为8元，设每件商品售价为x元 $(x > 10)$ ，每周销售的销售利润为y元.

(1)、求y与x之间的函数关系式.

(2)、问每件商品涨价多少元时，每周销售利润最大，最大利润多少元？

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24. 如图，四边形 $B C D G$ 是某速滑场馆建造的滑台，已知 $C D ∥ E G$ ，滑台的高 $D G$ 为 $4$ 米，且坡面 $B C$ 的坡度为 $1 ： 1$ ，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面 $A C$ 的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ .

(1)、求新坡面 $A C$ 的坡角及 $A C$ 的长；

(2)、原坡面底部 $B G$ 的正前方 $10$ 米外（ $E B = 10$ 米）是护墙 $E F$ ，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙 $7$ 米，请问新的设计方案能否通过？请说明理由.（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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25. 如图，点 $E$ 是矩形 $A B C D$ 中 $C D$ 边上一点， $△ B C E$ 沿 $B E$ 折叠为 $△ B F E$ ，点 $F$ 落在 $A D$ 上.

(1)、求证： $△ A B F ∼ △ D F E$ ；

(2)、若 $s i n ∠ D F E = \frac{2}{3}$ ， $A F = 6$ ，求 $B F$ 的值.

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26. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 5$ 的图象经过点 $(1 ， 8)$ ，且与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其中点 $A (- 1 ， 0)$ ， $M$ 为抛物线的顶点.

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、求 $△ M C B$ 的面积；

(3)、在坐标轴上是否存在点 $N$ ，使得 $△ B C N$ 为直角三角形？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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