陕西省渭南市潼关县2021-2022学年八年级下学期第一阶段性考试数学试题

试卷更新日期：2023-02-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）

A、 $- \sqrt{- 2}$ B、 $\sqrt{a^{2} + 1}$ C、 $\sqrt{a - 1}$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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2. 下面各组数中，是勾股数的是（）

A、9，16，25 B、0.3，0.4，0.5 C、1，3，2 D、7，24，25

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3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{27}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{16}$

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4. 命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是（）

A、如果a＜0，b＜o，那么ab＜0 B、如果ab＞0，那么a＜0，b＜0 C、如果a＞0，b＞0，那么a＜0 D、如果ab＜0，那么a＞0，b＞0

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2} - \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} \div \sqrt{2} = 1$

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6. 一艘轮船以16海里时的速度从港口 $A$ 出发向东北方向航行，另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口 $A$ 出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，两船相距（）

A、10海里 B、20海里 C、30海里 D、40海里

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7. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 是数轴上三点，点 $B$ 是线段 $A C$ 的中点，点 $A$ ， $B$ 对应的实数分别为 $- 1$ 和 $\sqrt{2}$ ，则点 $C$ 对应的实数是（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{2} + 2$ C、 $2 \sqrt{2} - 1$ D、 $2 \sqrt{2} + 1$

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8. 如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（）

A、5cm B、4cm C、3cm D、2cm

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二、填空题

9. 计算： $\sqrt{{(- 4)}^{2}}$ = ．

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝ $\sqrt{2}$ ，则点C到边AB的距离为.

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11. 若 $\sqrt{a} = m$ ， $\sqrt{b} = n$ ，则 $\sqrt{100 a b} =$ （用含 $m$ 、 $n$ 的代数式表示）．

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12. 在Rt△ABC中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ，则 $2 A B^{2} + A C^{2} + B C^{2} =$ ．

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13. 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是cm．

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三、解答题

14. 计算： $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + | \sqrt{3} - 1 |$ .

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 7 c m$ ， $A C = 4 c m$ .求 $B C$ 的长以及 $△ A B C$ 的面积.

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16. 三角形的周长为 $(5 \sqrt{5} + 2 \sqrt{10}) c m$ ，已知两边的长分别为 $3 \sqrt{5} c m$ 和 $\sqrt{40} c m$ ，求第三边的长.

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 13$ ， $B C = 10$ ，求 $B C$ 边上的高.

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18. 设长方形的面积为 $S$ ，相邻两边长分别为 $a$ 、 $b$ ，已知 $S = 6 \sqrt{3}$ ， $a = \sqrt{15}$ ，求 $b$ .

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19. 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾 $A E$ 到大厦墙面 $C D$ ），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯 $A B$ 长17米，云梯底部距地面的高 $A E = 1.5$ 米，问发生火灾的住户窗口距离地面多商？

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20. 已知： $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$ ， $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ ，求代数式 $x^{2} - y^{2}$ 的值.

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21. 如图，∠AOB=90°，OA=9cm，OB=3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发，沿着AO方向匀速滚向点O，机器人同时从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少?

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22. 如图所示，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．求证：AC⊥CD

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23. 如图，有一张边长为 $6 \sqrt{3} c m$ 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为 $\sqrt{3} c m$ .

(1)、求长方体盒子的容积；

(2)、求这个长方体盒子的侧面积.

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D 、 B E$ 分别为边 $B C 、 A C$ 的中线，分别交 $B C 、 A C$ 于点D、E.

(1)、若 $C D = 4 ， C E = 3 ， A B = 10$ ，求证： $∠ C = 90 °$ ；

(2)、若 $∠ C = 90 °$ ， $A D = 6$ ， $B E = 8$ ，求 $A B$ 的长.

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25. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个正数a、b，使 $a + b = m$ ， $a - b = 72$ ，使得 ${(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有：

$\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b)$

例如：化简 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ，由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$

即 ${(\sqrt{4})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 7$ ， $\sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}$

∴ $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{{(\sqrt{4} + \sqrt{3})}^{2}} = 2 + \sqrt{3}$

(1)、填空： $\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$ = ， $\sqrt{10 + 4 \sqrt{6}}$ = ；

(2)、化简： $\sqrt{29 - 8 \sqrt{13}}$ ．

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26. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形.它是美丽的弦图.其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c.

(1)、结合图①，说明：a²+b²＝c²；

(2)、如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH.若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；

(3)、如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S₁、S₂、S₃ ，若S₁+S₂+S₃＝18，则S₂＝.

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