人教A版（2019）选择性必修第三册 8.2一元线性回归模型及其应用

试卷更新日期：2023-02-21 类型：同步测试

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一、选择题（共13小题）

1. 对两个变量Y与X进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（）

A、模型Ⅰ的相关系数r为0.96 B、模型Ⅱ的相关系数r为0.81 C、模型Ⅲ的相关系数r为0.53 D、模型Ⅳ的相关系数r为0.35

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2. 已知 $x$ 、 $y$ 之间的数据见下表，则 $y$ 与 $x$ 之间的线性回归方程过点（）
$\begin{matrix} x & 1.08 & 1.12 & 1.19 & 1.28 \\ y & 2.25 & 2.40 & 2.55 & 2.37 \end{matrix}$

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(1.1675 ， 0)$ C、 $(0 ， 2.3925)$ D、 $(1.1675 ， 2.3925)$

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3. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 $A$ ， $B$ 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 $r$ 与残差平方和 $m$ ，如下表：
$\begin{matrix} / & 甲 & 乙 & 丙 & 丁 \\ r & 0.82 & 0.78 & 0.69 & 0.85 \\ m & 106 & 115 & 124 & 103 \end{matrix}$

则哪位同学的试验结果体现 $A$ ， $B$ 两变量有更强的线性相关性（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4. 农民工月工资 $y$ （元）依劳动生产率 $x$ （千元）变化的回归直线方程为 $\overset{`}{y} = 50 + 80 x$ ，下列判断正确的是（）
A.

A、劳动生产率为1000元时，工资为130元 B、劳动生产率提高1000元时，工资水平提高80元 C、劳动生产率提高1000元时，工资水平提高130元 D、当月工资为210元时，劳动生产率为2000元

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5. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R²分别如表：
甲
乙
丙
丁
R²
0.98
0.78
0.50
0.85
建立的回归模型拟合效果最差的同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 设两个变量 $x$ 和 $y$ 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是 $r$ ， $y$ 关于 $x$ 的回归直线的斜率是 $b$ ，纵截距是 $a$ ，那么必有（）

A、 $b$ 与 $r$ 的符号相同 B、 $a$ 与 $r$ 的符号相同 C、 $b$ 与 $r$ 的相反 D、 $a$ 与 $r$ 的符号相反

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7. 关于相关系数 $r$ ，下列说法错误的是（）

A、当 $r > 0$ 时，表明两个变量正相关 B、当 $r < 0$ 时，表明两个变量负相关 C、 $r$ 的绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性 D、 $r$ 的绝对值越接近于1，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系

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8. 某产品的广告费用 $x$ 与销售额 $y$ 的统计数据如下表，根据表可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\overset{`}{b}$ 为9.4，据此预报广告费用为6万元时销售额为（）
$\begin{matrix} 广告费用 x (万元) & 4 & 2 & 3 & 5 \\ 销售额 y (万元) & 49 & 26 & 39 & 54 \end{matrix}$

A、63.6万元 B、65.5万元 C、67.7万元 D、72.0万元

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9. 已知 $x$ 与 $y$ 之间的一组数据：
$\begin{matrix} x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ y & m & 3.2 & 4.8 & 7.5 \end{matrix}$

若 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\overset{`}{y} = 2.1 x - 1.25$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、0.85 C、0.7 D、0.5

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10. 根据如下样本数据得到的回归方程为 $\hat{y} = b x + a$ ，若 $a = 5.4$ ，则 $x$ 每增加1个单位， $y$ 就（）
$\begin{matrix} x & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ y & 4 & 2.5 & - 0.5 & 0.5 & - 2 \end{matrix}$

A、增加1.4个单位 B、减少1.4个单位 C、增加1个单位 D、减少1个单位

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11. 据统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学学习时间 $x$ 与数学成绩 $y$ 进行数据收集如表：
$\begin{matrix} x & 15 & 16 & 18 & 19 & 22 \\ y & 102 & 98 & 115 & 115 & 120 \end{matrix}$

由表中样本数据求回归直线方程 $\hat{y} = b x + a$ ，则点 $(a ， b)$ 与直线 $x + 18 y = 110$ 的位置关系为是（）

A、点在直线左侧 B、点在直线右侧 C、点在直线上 D、无法确定

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12. 实验测得四组 $(x ， y)$ 的值是 $(1 ， 2)$ ， $(2 ， 3)$ ， $(3 ， 4)$ ， $(4 ， 5)$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的回归直线的方程是（）

A、 $\hat{y} = x + 1$ B、 $\hat{y} = x + 2$ C、 $\hat{y} = 2 x + 1$ D、 $\hat{y} = x - 1$

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13. 两个变量 $y$ 与 $x$ 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数 $R^{2}$ 如下，其中拟合效果最好的模型是（）

A、模型1的相关指数 $R^{2}$ 为0.99 B、模型 $2$ 的相关指数 $R^{2}$ 为0.88 C、模型3的相关指数 $R^{2}$ 为0.50 D、模型4的相关指数 $R^{2}$ 为0.20

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二、填空题（共6小题）

14. 某商品在5家商场的售价 $x$ （元）和销售量 $y$ （件）之间的一组数据如下表所示：
$\begin{matrix} 价格 x (元) & 9 & 9.5 & 10 & 10.5 & 11 \\ 销售量 y (件) & 11 & a & 8 & 6 & 5 \end{matrix}$

由散点图可知，销售量 $y$ 与价格 $x$ 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是 $\hat{y} = - 3.2 x + 4 a$ ，则 $a =$ ．

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15. 如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于，解释变量和预报变量之间的相关系数等于．

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16. 若某函数模型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为，回归平方和为．

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17. 已知两个具有线性相关关系的变量x与y的几组数据如下表
x
3
4
5
6
y
$\frac{5}{2}$
m
4
$\frac{9}{2}$
根据上表数据所得线性回归直线方程为 $\hat{y}$ = $\frac{7}{10}$ x+ $\frac{7}{20}$ ，则m= ．

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18. 已知回归直线斜率估计值为1.23，样本点中心为 $(4 ， 5)$ ，则回归方程是．

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19. 回归分析

(1)、回归分析是对具有⑧的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

(2)、样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{n} ， y_{n})$ ，我们知道 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ， $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ，则将⑨称为样本点的中心．

(3)、相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}}$ ．
当 $r > 0$ 时，表明两个变量⑩；

当 $r < 0$ 时，表明两个变量⑪ ．

$r$ 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性⑫ ． $r$ 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间⑬ ．通常 $∣ r ∣$ 大于或等于⑭时，认为两个变量有很强的线性相关性．

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三、解答题（共7小题）

20. 在试验中得到变量 $y$ 与 $x$ 的数据如下：
$\begin{matrix} x & 0.0667 & 0.0387 & 0.0333 & 0.0273 & 0.0225 \\ y & 39.4 & 42.9 & 41.0 & 43.1 & 49.2 \end{matrix}$

已知 $y$ 与 $\frac{1}{x}$ 之间具有线性相关关系，试求 $y$ 与 $x$ 之间的回归方程，并预测当 $x = 0.0485$ 时 $y$ 的值．

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21. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
$\begin{matrix} 零件的个数 x (个) & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 加工的时间 y (小时) & 2.5 & 3 & 4 & 4.5 \end{matrix}$

（注： $\overset{`}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\overset{`}{a} = \bar{y} - \overset{`}{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 52.5$ ， $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = 54$ ）

(1)、求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并在坐标系中画出回归直线；

(2)、试预测加工10个零件需要的时间．

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22. 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

附注：

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 9.32$ ， $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i} = 40.17$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 0.55$ ， $\sqrt{7} \approx 2.646$ ．

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ．

(1)、由折线图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $t$ 的关系，请用相关系数加以说明；

(2)、建立 $y$ 关于 $t$ 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

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23. 一种室内植物的株高 $y$ （单位： $cm$ ）与一定范围内的温度 $x$ （单位： $^{\circ} C$ ）有关，现收集了该种植物的13组观测数据，得到如图所示的散点图：

现根据散点图利用 $y = a + b \sqrt{x}$ 或 $y = c + \frac{d}{x}$ 建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程，令 $w = \sqrt{x}$ ， $t = \frac{1}{x}$ ，得到如下数据：

$\begin{matrix} \bar{x} & \bar{y} & \bar{w} & \bar{t} \\ 10.15 & 109.94 & 3.04 & 0.16 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{13} w_{i} y_{i} - 13 \bar{w} \bar{y} & \sum_{i = 1}^{13} t_{i} y_{i} - 13 \bar{t} \bar{y} & \sum_{i = 1}^{13} w_{i}^{2} - 13 {\bar{w}}^{2} & \sum_{i = 1}^{13} t_{i}^{2} - 13 {\bar{t}}^{2} & \sum_{i = 1}^{13} y_{i}^{2} - 13 {\bar{y}}^{2} \\ 13.94 & - 2.1 & 11.67 & 0.21 & 21.22 \end{matrix}$

且 $(w_{i} ， y_{i})$ 与 $(t_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 13)$ 的相关系数分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，其中 $r_{1} = 0.8859$ ．

附：对于样本 $(u_{i} ， v_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， n)$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{b} u + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\overset{'}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{v} - \hat{b} \bar{u}$ ，

相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}}$ ，

$\sqrt{4.4562} \approx 2.11$ ．

(1)、用相关系数说明哪种模型建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程更合适；

(2)、（ⅰ）根据（1）的结果及表中数据，求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
（ⅱ）已知这种植物的利润 $z$ （单位：千元）与 $x$ ， $y$ 的关系为 $z = 10 y - x$ ，当 $x$ 何值时，利润的预报值最大．

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24. 某城区为了研究落后城镇居民家庭的月人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽出了10户进行调查，其结果如下：
$\begin{matrix} 月人均收入 x / 元 & 月人均生活费支出 x / 元 \\ 300 & 255 \\ 390 & 324 \\ 420 & 335 \\ 520 & 360 \\ 570 & 450 \\ 700 & 520 \\ 760 & 580 \\ 800 & 600 \\ 850 & 630 \\ 1080 & 750 \end{matrix}$

试预测月人均收入为1100元和月人均收入为1200元的两个家庭的月人均生活费支出．

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25. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：
$\begin{matrix} 价格 x (元 / kg) & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 \\ 日需求量 y (kg) & 11 & 10 & 8 & 6 & 5 \end{matrix}$

参考公式：线性回归方程 $\overset{`}{y} = b x + a$ ，其中 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、利用1中的回归方程，当价格 $x = 40 元 / kg$ 时，日需求量 $y$ 的预测值为多少?

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26. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$ （单位：千元）对年利润 $y$ （单位：千元）的影响，对近5年的宣传费 $x_{1}$ 和年利润 $y_{1}$ （ $i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ ）进行了统计，列出了下表：
$\begin{matrix} x (单位：千元) & 2 & 4 & 7 & 17 & 30 \\ y (单位：万元) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix}$

员工小王和小李分别提供了不同方案．

参考公式：相关数据 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \overset{`}{y_{i}})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ．

回归方程 $\overset{`}{y} = \overset{`}{b} x + \overset{`}{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．参考数据： $ln 40 = 3.688$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 538$ ．

(1)、小王准备用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请你帮助建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程：（系数精确到0.01）．

(2)、小李决定选择对数回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，得到了回归方程 $\overset{`}{y} = 1.450 ln x + 0.024$ ，并提供了相关指数 $R^{2} = 0.995$ ．请用相关指数说明选择哪个模型更合适，并预测年宣传费为4万元的年利润．（精确到0.01）（小王也提供了他的分析数据 $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \overset{`}{y_{i}})}^{2} = 1.15$ ）

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	甲	乙	丙	丁
R²	0.98	0.78	0.50	0.85

x	3	4	5	6
y	$\frac{5}{2}$	m	4	$\frac{9}{2}$