人教A版（2019）选择性必修第三册 7.5正态分布

试卷更新日期：2023-02-21 类型：同步测试

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一、选择题（共11小题）

1. 在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ^2)(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则ξ在(0，80)内的概率为( )

A、0.05 B、0.1 C、0.15 D、0.2

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2. 若随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}}$ ， $x \in (- \infty ， + \infty)$ ，则在 $(- 2 ， - 1)$ 与 $(1 ， 2)$ 内取值的概率分别为 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ ，则 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 的大小关系为（）

A、 $p_{1} > p_{2}$ B、 $p_{1} < p_{2}$ C、 $p_{1} = p_{2}$ D、不确定

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3. 已知随机变量 $z$ 服从正态分布 $N (0 ， σ^{2})$ ，若 $P (z > 2) = 0.023$ ，则 $P (- 2 \leq z \leq 2) =$ （）

A、0.477 B、0.625 C、0.977 D、0.954

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4. 某班有48名同学，一次考试后各位同学的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上来说在80分到90分间的人数是( )

A、32 B、16 C、8 D、20

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5. 已知随机变量x服从正态分布N（3，σ²），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）

A、0.84 B、0.68 C、0.32 D、0.16

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6. 为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各200名，要求他们同时完成多个任务，包括解题、读地图、接电话．如图表示了志愿者完成任务所需的时间分布．以下结论，对志愿者完成任务所需的时间分布图表理解正确的是（）

①总体看女性处理多任务平均用时更短；

②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；

③男性的时间分布更接近正态分布；

④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数．

A、①④ B、②③ C、①③ D、②④

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7. 已知变量 $x$ 服从正态分布 $N (2 ， 4)$ ，下列概率与 $P (x \leq 0)$ 相等的是（）

A、 $P (x \geq 2)$ B、 $P (x \geq 4)$ C、 $P (0 \leq x \leq 4)$ D、 $- P (x \geq 4)$

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8. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.84$ ，则 $P (2 < X < 4) =$ （）

A、0.84 B、0.68 C、0.32 D、0.16

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9. 某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态公布N(100，σ^2)，已知P(80<ξ≤100)=0.40，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷分析，则应从120分以上的试卷中抽取( )

A、5份 B、10份 C、15份 D、20份

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10. 设随机变量 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，且 $X$ 落在区间 $(- 3 ， - 1)$ 内的概率和落在区间 $(1 ， 3)$ 内的概率相等，若 $P (X > 2) = p$ ，则 $P (0 < X < 2)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} + p$ B、 $1 - p$ C、 $1 - 2 p$ D、 $\frac{1}{2} - p$

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11. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ²)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于( )

A、0.6 B、0.4 C、0.3 D、0.2

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二、填空题（共6小题）

12. 在某项测量中，测量结果 $ξ$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ．若 $ξ$ 在 $(0 ， 1)$ 内取值的概率为 $0.4$ ，则 $ξ$ 在 $(0 ， 2)$ 内取值的概率为．

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13. 若随机变量 $ξ \sim N (2 ， 1)$ ，且 $P (ξ > 3) = 0.158$ ，则 $P (ξ > 1) =$

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14. 设随机变量 $X \sim N (3 ， σ^{2})$ ，若 $P (X > m) = 0.3$ ，则 $P (X > 6 - m) =$ ．

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15. 某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2．那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为．

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16. 若随机变量 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，且 $P (X > 5) = P (X < - 1) = 0.2$ ，则 $P (2 < X < 5) =$ ．

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三、解答题（共6小题）

17. 已知随机变量 $X$ 的概率密度曲线，如图，求 $E (2 X - 1)$ ， $D (\frac{1}{4} X)$ ．

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18. 某部门曾分别对城市中的3303名14岁男孩和3312名14岁女孩的脉搏进行了测量．男孩的脉搏的平均数为79.7次/分，标准差为9.11次/分．女孩的脉搏的平均数为82.3次/分，标准差为9.69次/分．

(1)、试估计在城市中的所有 $14$ 岁男孩中，脉搏超过 $98$ 次/分的男孩所占的百分比，以及在城市中的所有 $14$ 岁女孩中，脉搏超过 $98$ 次/分的女孩所占的百分比．

(2)、分别对我国城市中的14岁男孩、女孩的脉搏次数的分布作一个概要的描述，如图所示，求出图中a，b，c，d的值．

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19. 某食品厂生产了一批罐头，每罐标准净重是340克．由于生产条件限制，每罐的净重并非恰好340克．已知每罐的净重服从正态分布，从这一批罐头中随机取出100罐进行检查，测得数据如下（单位：克）：
经计算，这个样本的平均数和标准差分别为

$\bar{x} = 343.6$ （克）， $s = 4.0$ （克）．

试估计：

(1)、这批罐头中，净重不超过340克的罐头所占的百分比．

(2)、这批罐头中，净重在 $340 \times (1 - 3 %)$ 克与 $340 \times (1 + 3 %)$ 克，即 $329.8$ 克 $\sim 350.2$ 克之间的罐头所占的百分比．

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20. 某工厂为检验车间一生产线工作是否正常，现从生产线中随机抽取一批零件样本，测量它们的尺寸（单位：mm）并绘成频率分布直方图，如图所示．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸Z(mm)服从正态分布 $N (μ ， σ^{2}) ，$ 其中 $μ$ 近似为零件样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为零件样本方差 $s^{2}$ ．
附： $\sqrt{110} \approx 10.5$ ；若 $Z \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) \approx 0.9974$ ．

(1)、求这批零件样本的 $\bar{x}$ 和 $s^{2}$ 的值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、假设生产状态正常，求 $P (54 < Z < 85.5)$ ；

(3)、若从生产线中任取一零件，测量其尺寸为 $30 mm$ ，根据 $3 σ$ 原则判断该生产线是否正常．

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21. 在某次数学考试中，考生的成绩x服从一个正态分布，即 $X \sim N (90 ， 100)$

(1)、求考试成绩x位于区间 $(70 ， 110)$ 内的概率

(2)、若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在 $(80 ， 100)$ 内的考生大约有多少人?

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