人教A版（2019）选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征

试卷更新日期：2023-02-21 类型：同步测试

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一、选择题（共10小题）

1. 已知某一离散型随机变量x的分布列如下，且 $E (X) = 6.3$ ，则a的值为（）
$\begin{matrix} X & 4 & a & 9 \\ P & 0.5 & 0.1 & b \end{matrix}$

A、5 B、6 C、7 D、8

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2. 若随机变量 $X$ 的分布列为
$\begin{matrix} X & 0 & 1 & 2 \\ P & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{matrix}$

则X的数学期望E(X)是( )

A、1/4 B、1/2 C、1 D、3/2

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3. 设一随机试验的结果只有 $A$ 和 $\bar{A}$ ， $P (A) = p$ ，令随机变量 $X = {\begin{array}{l} 1 ， A 出现， \\ 0 ， A 不出现， \end{array}$ 则 $X$ 的方差为（）

A、p B、 $2 p (1 - p)$ C、 $- p (1 - p)$ D、 $p (1 - p)$

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4. 已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{18}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{24}{5}$

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5. 设0<p<1，随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
$\frac{1 - p}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{p}{2}$
则当p在（0，1）内增大时，（）

A、D（ξ）减小 B、D（ξ）增大 C、D（ξ）先减小后增大 D、D（ξ）先增大后减小

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6. 随机变量 $X$ 的分布列如表，若 $E (X) = \frac{7}{6}$ ，则 $D (X) =$ （）
$\begin{matrix} X & 0 & 1 & 2 \\ P & \frac{1}{6} & a & b \end{matrix}$

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{17}{36}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{11}{6}$

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7. 随机变量ξ的分布列为：

$ξ$

0

1

2

$P$

$a$

$\frac{b}{2}$

$\frac{b}{2}$

其中 $a b \neq 0$ ，下列说法不正确的是（）

A、 $a + b = 1$ B、 $E (ξ) = \frac{3 b}{2}$ C、D(ξ)随b的增大而减小 D、D(ξ)有最大值

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8. 已知 $p > 0$ ， $q > 0$ ，随机变量 $ξ$ 的分布列如下： $\begin{matrix} ξ & p & q \\ P & q & p \end{matrix}$ ，若 $E (ξ) = \frac{4}{9}$ ，则 $p^{2} + q^{2} =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、1

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9. 甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为0.5，0.8，两人考试时相互独立互不影响，记X表示两人中通过雅思考试的人数，则X的方差为( )

A、0.41 B、0.42 C、0.45 D、0.46

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10. 某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X（单位：分）的均值为( )

A、0.9 B、0.8 C、1.2 D、1.1

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二、填空题（共5小题）

11. 某射击手射击所得环数 $ξ$ 的分布列如下： $\begin{matrix} ξ & 7 & 8 & 9 & 10 \\ P & x & 0.1 & 0.3 & y \end{matrix}$ ，已知 $ξ$ 的期望 $E (ξ) = 8.9$ ，则 $y$ 的值为．

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12. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的件数，则 $P (X < 2) =$ ，随机变量 $X$ 的数学期望 $E (X) =$ ．

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13. 一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同 $.$ 现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望 $E (X) =$ ．

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14. 某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为；取出的3件产品中次品的件数 $x$ 的期望是.

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15. 某公司有500万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是去年200例类似项目开发的实施结果．
$\begin{matrix} 投资成功 & 投资失败 \\ 192 例 & 8 例 \end{matrix}$

试估计该公司一年后可获收益为万元．

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三、解答题（共5小题）

16. 请回答下列问题：

(1)、如果随机变量的概率分布律由下表给出：
$\begin{matrix} x & 0 & \frac{π}{2} & π \\ P (ξ = x) & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{matrix}$

求 $ξ$ 的数学期望与方差．

(2)、设 $η = cos ξ$ ，其中 $ξ$ 的概率分布律同第 $1$ 题，求 $E_{η}$ ， $D_{η}$ ．

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17. 高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程，某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到下表：
$\begin{matrix} 组别 & 选考科目 & 频数 \\ 第 1 组 & 历史、地理、政治 & 20 \\ 第 2 组 & 物理、化学、生物 & 17 \\ 第 3 组 & 生物、历史、地理 & 14 \\ 第 4 组 & 化学、生物、地理 & 12 \\ 第 5 组 & 物理、化学、地理 & 10 \\ 第 6 组 & 物理、生物、地理 & 9 \\ 第 7 组 & 化学、历史、地理 & 7 \\ 第 8 组 & 物理、历史、地理 & 5 \\ 第 9 组 & 化学、生物、政治 & 4 \\ 第 10 组 & 生物、地理、政治 & 2 \\ 合计： 100 \end{matrix}$

(1)、从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；

(2)、从第8组、第9组、第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X，求X的分布列和期望；

(3)、如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大?并说明理由．

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18. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ．

(1)、设 $X$ 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

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19. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)、若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．

(2)、花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理如表所示．
$\begin{matrix} 日需求量 n & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 频数 & 10 & 20 & 16 & 16 & 15 & 13 & 10 \end{matrix}$

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差．

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由．

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20. 2013年2月，中国跳水队在2013年度国际跳水大奖赛马德里站的比赛中取得优异的成绩，为积极准备下一站的比赛，在著名的海滨城市青岛举行了一场选拔赛，其中甲、乙运动员为争夺最后一个参赛名额进行了七轮激烈的争夺，甲、乙两名选手七轮比赛的得分如图所示，现从两名运动员每轮不低于80，不高于90的得分中任选．

(1)、若任选三个，求甲的三个得分与其每轮平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；

(2)、求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值 $ξ$ 的分布列及其期望．

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ξ	0	1	2
P	$\frac{1 - p}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{p}{2}$

$ξ$	0	1	2
$P$	$a$	$\frac{b}{2}$	$\frac{b}{2}$