人教A版（2019）选择性必修第三册 6.3 二项式定理

试卷更新日期：2023-02-21 类型：同步测试

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一、选择题（共12小题）

1. 在二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）

A、32 B、-32 C、0 D、1

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2. ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中各项系数之和为（）

A、 $2^{6}$ B、 $3^{6}$ C、 $4^{6}$ D、1

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3. 二项展开式 ${(2 x - 1)}^{10}$ 中的奇次幂项的系数之和为（）

A、 $\frac{1 + 3^{10}}{2}$ B、 $\frac{1 - 3^{10}}{2}$ C、 $\frac{3^{10} - 1}{2}$ D、 $- \frac{1 + 3^{10}}{2}$

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4. 已知 $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 2^{2} C_{n}^{2} + \dots + 2^{n} C_{n}^{n} = 729$ ，则 $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + \dots + C_{n}^{n} =$ （）

A、63 B、64 C、31 D、32

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5. $C_{6}^{1} + C_{6}^{2} + C_{6}^{3} + C_{6}^{4} + C_{6}^{5}$ 的值为（）

A、61 B、62 C、63 D、64

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6. ${(x^{3} - \frac{2}{x})}^{4} + {(x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中的常数项为（）

A、32 B、34 C、36 D、38

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7. 设 $a \in Z$ ，且 $0 \leq a < 13$ ，若 $51^{2015} + a$ 能被 13 整除，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、11 D、12

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8. ${(x - 1)}^{11}$ 的展开式中， $x$ 的奇次幂的系数之和是（）

A、2048 B、-1023 C、-1024 D、1024

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9. 设 $A = 3^{7} + C_{7}^{2} \times 3^{5} + C_{7}^{4} \times 3^{3} + C_{7}^{6} \times 3$ ， $B = C_{7}^{1} \times 3^{6} + C_{7}^{3} \times 3^{4} + C_{7}^{5} \times 3^{2} + 1$ ，则 $A - B$ 的值为（）

A、128 B、129 C、4⁷ D、0

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10. 已知 ${(a x + b)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4}$ 项的系数与 $x^{5}$ 项的系数分别为 135 与-18，则 ${(a x + b)}^{6}$ 的展开式中所有项系数之和为（）

A、-1 B、1 C、32 D、64

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11. 设 $a \in Z$ ，且 $0 \leq a < 13$ ，若 $51^{2015} + a$ 能被 13 整除，则a的值为（）

A、0 B、1 C、11 D、12

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12. 若（x⁶ $+ \frac{1}{x \sqrt{x}}$ ）ⁿ的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题（共7小题）

13. 若 ${(1 - 2 x)}^{2009} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2009} x^{2009} (x \in R)$ ，则 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{2009}}{2^{2009}}$ 的值为．

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14. $(2 - x) {(1 - 3 x)}^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数等于（用数字作答）．

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15. $\frac{C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n}}{C_{n + 1}^{0} + C_{n + 1}^{1} + C_{n + 1}^{2} + \dots + C_{n + 1}^{n + 1}} =$ ．

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16. 若将函数 $f (x) = x^{6}$ 表示成 $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \dots + a_{6} {(x - 1)}^{6}$ ，则 $a_{3}$ 的值等于 .

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17. 在 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{5}$ 二项展开式中， $x$ 的一次项系数为（用数字作答）．

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18. 已知 $n \geq 3$ ，若对任意的 $x$ ，都有 ${(x + 2)}^{n} = a_{0} {(x - 1)}^{n} + a_{1} {(x - 1)}^{n - 1} + 135 \cdot {(x - 1)}^{n - 2} + \dots + a_{n}$ ，则 $n =$ ．

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19. 若 ${(1 + n x)}^{n}$ 展开式的各二项式系数和为 16，则展开式中奇数项的系数和为．

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三、解答题（共6小题）

20. 用二项式定理展开下列两式：

(1)、 ${(a + 2 b)}^{6}$ ．

(2)、 ${(1 - \frac{1}{x})}^{5}$ ．

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21. 求多项式 ${(3 x^{4} - x^{3} - 2 x - 3)}^{102} \cdot {(3 x - 5)}^{4} \cdot {(7 x^{3} - 5 x - 1)}^{67}$ 展开式中各项系数和．

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22. 若 ${(3 x + 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ，

(1)、求 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7}$ 的值；

(2)、求 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6}$ 的值；

(3)、求 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}$ 的值．

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23. 求和： $\frac{1 - a}{1 - a} C_{n}^{0} - \frac{1 - a^{2}}{1 - a} C_{n}^{1} + \frac{1 - a^{3}}{1 - a} C_{n}^{2} - \frac{1 - a^{4}}{1 - a} C_{n}^{3} + \dots + {(- 1)}^{n} \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a} C_{n}^{n}$ ．

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24. 已知 ${(\frac{1}{2 x} + 2 \sqrt{x})}^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、若其展开式后三项的二项式系数的和等于 $67$ ，求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、若 $n$ 为满足 $8 < n < 12$ 的整数，且展开式中有常数项，试求 $n$ 的值和常数项．

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25. 证明 $3^{2 n + 2} - 8 n - 9$ 能被64整除 $(n \in N_{+})$ ．

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