浙江省湖州市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - x - 6 \leq 0} ， B = {x ∣ \frac{x - 4}{x + 1} \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x \leq 3}$ B、 ${x ∣ x \leq 3$ 或 $x > 4}$ C、 ${x ∣ - 2 \leq x \leq 4}$ D、 ${x ∣ - 2 \leq x \leq - 1}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $\bar{z} = 4 + 2 i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $\frac{z}{4 + 2 i} =$ （）

A、 $\frac{3 - 4 i}{3}$ B、 $\frac{3 + 4 i}{3}$ C、 $\frac{3 - 4 i}{5}$ D、 $\frac{3 + 4 i}{5}$

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3. 设坐标原点为 $O$ ，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 与过焦点的直线交于A、B两点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、3 D、 $- 3$

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4. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2}) ， 2 s i n 2 α = c o s 2 α + 1$ ，则 $c o s (\frac{3 π}{2} + α) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 ， M N$ 是它的外接圆的一条弦，点 $P$ 为正方形四条边上的动点，当弦 $M N$ 的长度最大时， $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $[0 ， \sqrt{2}]$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $[- 1 ， 1]$

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6. 研究变量 $x ､ y$ 得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法中错误的是（）

A、若变量 $x$ 和 $y$ 之间的相关系数为 $r = - 0.992$ ，则变量 $x$ 和 $y$ 之间的负相关很强 B、用决定系数 $R^{2}$ 来比较两个模型拟合效果， $R^{2}$ 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 C、在经验回归方程 $\hat{y} = - 2 x + 0.8$ 中，当解释变量 $x$ 每增加1个单位时，响应变量 $\hat{y}$ 平均减少2个单位 D、经验回归直线 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过点 $(x_{1} ， y_{1}) ､ (x_{2} ， y_{2}) ､ \dots \dots ､ (x_{n} ， y_{n})$ 中的一个

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7. 已知 $a = e^{s i n 1} + \frac{1}{e^{s i n 1}}$ ， $b = e^{t a n 2} + \frac{1}{e^{t a n 2}}$ ， $c = e^{c o s 3} + \frac{1}{e^{c o s 3}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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8. 如图所示的多面体由正四棱锥 $P - A B C D$ 和三棱锥 $Q - P A B$ 组成，其中 $A B = 2$ .若该多面体有外接球且外接球的体积是 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ ，则该多面体体积的最大值是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} + 1$ C、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}{3}$

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二、多选题

9. 为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车､自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则（）

A、骑车时间的中位数的估计值是22分钟 B、坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟 C、坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值 D、坐公交车时间的方差的估计值小于骑车时间的方差的估计值

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10. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ．若直线 $A C_{1}$ 与 $B B_{1}$ 所成角是 $4 5^{∘}$ ，则（）

A、直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $B C$ 所成角是 $6 0^{∘}$ B、直线 $A C_{1}$ 与 $B C$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、直线 $A A_{1}$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 所成角是 $4 5^{∘}$ D、直线 $A B$ 与平面 $A_{1} A C C_{1}$ 所成角是 $6 0^{∘}$

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11. 若椭圆 $C_{1}$ 和椭圆 $C_{2}$ 的方程分别为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = λ (0 < λ < 1)$ ，则称椭圆 $C_{1}$ 和椭圆 $C_{2}$ 为相似椭圆.已知椭圆 $C_{1}$ 和椭圆 $C_{2}$ 是相似椭圆，下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C_{1}$ 与椭圆 $C_{2}$ 的焦距相等 B、过椭圆 $C_{2}$ 上任意一点 $P$ 作椭圆 $C_{2}$ 的切线交 $C_{1}$ 于 $A ， B$ ，则 $P$ 为线段 $A B$ 中点 C、过椭圆 $C_{2}$ 上任意一点 $P$ 作直线交椭圆 $C_{1}$ 于 $M ， N$ 两点，且 $\vec{M P} = \vec{P N}$ ，则 $△ M O N$ 面积为常数（其中 $O$ 为坐标原点） D、直线 $y = m x + n (m > 0 ， n < 0)$ 与椭圆 $C_{1} ､ C_{2}$ 自下而上依次交于 $R ， Q ， S ， T$ 四点，则 $| R Q | > | S T |$

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12. 若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，且方程 $f [g (x)] = x$ 有实数解，则下列式子中可以为 $g [f (x)]$ 的是（）

A、 $x^{2} + 2 x$ B、 $x + 1$ C、 $e^{c o s x}$ D、 $l n (| x | + 1)$

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三、填空题

13. $(x + y) (x - y)^{7}$ 的展开式中 $x^{6} y^{2}$ 的系数是.

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14. 若函数 $f (x) = l n (e^{2 x} + a) - x (x \in R)$ 为偶函数，则 $a =$ ．

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15. 已知曲线 $f (x) = e^{x} - 1$ 与曲线 $g (x) = e^{x - 2}$ 有相同的切线，则这条切线的斜率为.

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16. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点， $C$ 的右支上存在一点 $B$ 满足 $B F_{1} ⊥ B F_{2} ， B F_{1}$ 与 $C$ 的左支的交点A满足 $\frac{s i n ∠ A F_{2} F_{1}}{s i n ∠ A F_{2} B} = \frac{| B F_{2} |}{| F_{1} F_{2} |}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是.

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四、解答题

17. 某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：
款式/专卖店
甲
乙
丙
丁
戊
男装
60
60
130
80
110
女装
120
90
130
60
50

(1)、若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；

(2)、现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用 $X$ 表示其中男装销量超过女装销量的专卖店个数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = A B = 2 ， ∠ B A D = 12 0^{∘} ， A C ⊥ B D$ ， $△ B C D$ 是等边三角形.

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} ， n 为奇数 \\ a_{n} + 1 ， n 为偶数 \end{array}$ .

(1)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{2 n}$ ，求 $b_{1} ， b_{2}$ 及 ${b_{n}}$ 的通顼公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ .

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20. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $b c o s C + \sqrt{3} b s i n C - a - c = 0$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、点 $D$ 在边 $A C$ 上，若 $C D = 1 ， A D = B D = 3$ ，求 $s i n A$ 的值.

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21. 如图所示， $A ， B$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知 $O$ 为坐标原点，点 $P (- 2 ， 2)$ ，点 $M$ 是椭圆 $C$ 上的点，直线 $P M$ 交椭圆 $C$ 于点 $Q (M ， Q$ 不重合），直线 $B Q$ 与 $O P$ 交于点 $N$ .求证：直线 $A M ， A N$ 的斜率之积为定值，并求出该定值.

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22. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = l o g_{a} x + \frac{1}{2} a x^{2}$ .

(1)、若 $a = e$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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款式/专卖店	甲	乙	丙	丁	戊
男装	60	60	130	80	110
女装	120	90	130	60	50