浙江省杭州四校联盟2022-2023学年高二上学期数学1月期末试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1} ， B = {- 1 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 若复数z满足 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知焦点在y轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率是 $\frac{1}{2}$ ，则m的值是（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{15}{4}$ 或 $\frac{20}{3}$

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4. 已知不同平面 $α ， β ， γ$ ，不同直线 $m$ 和 $n$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α ， m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ B、若 $α ⊥ γ ， β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ n ， m ⊥ α$ ，则 $n / / α$ D、若 $m / / α ， n / / α$ 则 $m / / n$

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5. 已知 $s i n (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $c o s (θ - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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6. 关于函数 $f (x) = | c o s x | + | s i n x |$ ，下列选项错误的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的最大值为2 D、 $\frac{π}{2}$ 为 $f (x)$ 的一个周期

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7. 已知 $2^{a} = 3$ ， $3^{b} = 4$ ， $a^{c} = b$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} - 2 ， x \geq 0 \\ - 4 | x + 1 | + 2 ， x < 0 \end{array}$ ，若存在唯一的整数x，使得 $\frac{f (x) + 1}{x - a} < 0$ 成立，则所有满足条件的整数a的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、多选题

9. 以下说法正确的有（）

A、“ $x = 0$ 且 $y = 0$ ”是“ $x y = 0$ ”的充要条件 B、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则 $a > b$ C、命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ” D、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $s i n x + \frac{2}{s i n x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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10. 某校有甲、乙、丙三名学生是新冠阳性患者的密切接触者，已知密切接触者新冠病毒检测呈阳性的概率为 $\frac{1}{2}$ ，记事件A为“三名学生都是阴性”，事件B为“三名学生都是阳性”，事件C为“三名学生至少有一名是阳性”，事件D为“三名学生不都是阴性”，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{8}$ B、事件A与事件B互斥 C、 $P (C) \neq P (D)$ D、事件A与事件C对立

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11. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，过点 $M (- 1 ， 0)$ 直线l与圆O交于P，Q两点．下列说法正确的是（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ B、 $\vec{P O} \cdot \vec{P Q} \in [6 ， 8]$ C、 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最大值为 $- 2$ D、线段PQ中点的轨迹为圆

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12. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，将 $△ C B E$ 沿直线 $B E$ 翻折至 $△ C_{1} B E$ 的位置，则（）

A、翻折过程中，直线 $A C_{1}$ 与 $B E$ 所成角的余弦值最大为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、翻折过程中，存在某个位置的 $C_{1}$ ，使得 $B E ⊥ A C_{1}$ C、翻折过程中，四棱锥 $C_{1} - A B E D$ 必存在外接球 D、当四棱锥 $C_{1} - A B E D$ 的体积最大时，以 $A C_{1}$ 为直径的球面被平面 $C_{1} B E$ 截得交线长为 $π$

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三、填空题

13. 计算： $l o g_{3} \frac{1}{2} \times l o g_{4} 9 + {[{(- 2)}^{6}]}^{\frac{1}{2}} =$ ．

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14. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的 $\frac{2}{3}$ ，并且球的表面积也是圆柱表面积的 $\frac{2}{3}$ ，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为.

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15. 已知正数x，y满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{x^{2} + 4 y^{2} + 1}{x y}$ 的最小值为．

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16. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点 $F_{1}$ 关于渐近线的对称点恰好落在以 $F_{2}$ 为圆心， $\frac{| O F_{2} |}{2}$ 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为．

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四、解答题

17. 已知锐角 $△ A B C$ 的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a c o s C + \frac{c}{2} = b$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $s i n B + s i n C$ 的取值范围．

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18. 已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ ．

(1)、直线l过点 $P (1 ， 2)$ ，且与圆C交于A、B两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程；

(2)、点 $P (x ， y)$ 为圆上任意一点，求 $x + y + 2$ 的最大值和最小值．

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19. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有 $m$ 人，按年龄分成5组，其中第一组： $[20 ， 25)$ ，第二组： $[25 ， 30)$ ，第三组： $[30 ， 35)$ ，第四组： $[35 ， 40)$ ，第五组： $[40 ， 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $m$ 人的平均年龄和第80百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和 $\frac{5}{2}$ ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这 $m$ 人中35~45岁所有人的年龄的方差.

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 是正三角形， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 2$ ， D是AB的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ P D$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - D$ 为 $150 °$ ，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．

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21. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，C的准线与x轴的交点为E，点A是C上的动点．当 $△ A E F$ 是等腰直角三角形时，其面积为2．

(1)、求C的方程；

(2)、延长AF交C于点B，点M是C的准线上的一点，设直线MF，MA，MB的斜率分别是 $k_{0}$ ， $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = λ k_{0}$ ，求 $λ$ 的值．

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22. 设函数 $f_{k} (x) = {| x + a |}^{k} + b$ ，其中 $k \in {1 ， 2}$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $F (x) = f_{1} (x) + f_{2} (x)$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值；

(2)、已知 $g (x) = (x^{2} + x) \cdot f_{2} (x)$ 满足对一切实数x均有 $g (x) = g (2 - x)$ ，求函数 $g (x)$ 的值域；

(3)、若 $a = - 1$ ，且 ${x | f_{2} (x) = x} = {x | f_{2} (f_{2} (x)) = x}$ ，求实数 $b$ 的取值范围．

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