浙江省杭州市八县区2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 $1 ， 5 ， 6$ B、 $2 ， 3 ， 4$ C、 ${1 ， 5 ， 6}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 若 $a ， b \in R$ ，则“ $a > b > 0$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $c o s α = - \frac{1}{3}$ ， $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ，则 $s i n α$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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4. 函数 $y = \sqrt{l o g_{0.5} (4 x - 3)}$ 的定义域为（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[\frac{3}{4} ， 1]$ C、 $(\frac{3}{4} ， 1]$ D、 $(0 ， \frac{3}{4}]$

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5. 三个数 $3^{- \frac{1}{2}} ， 3^{\frac{1}{2}} ， l o g_{2} 3$ 的大小关系是（）

A、 $3^{- \frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{2}} < l o g_{2} 3$ B、 $3^{- \frac{1}{2}} < l o g_{2} 3 < 3^{\frac{1}{2}}$ C、 $3^{\frac{1}{2}} < l o g_{2} 3 < 3^{- \frac{1}{2}}$ D、 $l o g_{2} 3 < 3^{- \frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{2}}$

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6. 某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2 $k g$ 的草莓，服务员先将1 $k g$ 的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1 $k g$ 的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（）

A、等于2 $k g$ B、小于2 $k g$ C、大于2 $k g$ D、不确定

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7. 函数 $f (x) = x^{2} (x - a)$ ，若 $f (2) \cdot f (3) < 0$ ，则 $f (- 1) ， f (2) ， f (3)$ 的大小关系是（）

A、 $f (- 1) < f (2) < f (3)$ B、 $f (2) < f (- 1) < f (3)$ C、 $f (2) < f (3) < f (- 1)$ D、 $f (3) < f (2) < f (- 1)$

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8. 定义在 $R$ 上函数 $y = f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x \cdot 2^{x}$ ，则不等式 $f (x + 2 \sqrt{x} + 2) + f (1 - 2 x) \geq 0$ 的解集是（）

A、 $[- 1 ， 3]$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $[1 ， 9]$ D、 $[0 ， 9]$

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二、多选题

9. 下列说法中正确的是（）

A、半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1 B、若 $α$ 是第二象限角，则 $\frac{α}{2}$ 是第一象限角 C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 5 \geq 0$ D、命题： $\forall x > 0$ ， $l n x \leq x - 1$ 的否定是： $\exists x_{0} > 0$ ， $l n x_{0} > x_{0} - 1$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n x - c o s x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ B、点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{4}]$ 上是增函数 D、若 $f (x)$ 在区间 $[- a ， a]$ 上是增函数，则 $a$ 的最大值为 $\frac{π}{4}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x - 2 ， g (x) = l o g_{2} x + x - 2 ， h (x) = x^{3} + x - 2$ 的零点分别为 $a ， b ， c$ ，则有（）

A、 $c = 1 ， a > 0 ， b > 1$ B、 $b > c > a$ C、 $a + b = 2 ， c = 1$ D、 $a + b < 2 ， c = 1$

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12. 已知 $f (x)$ 和 $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，则（）

A、若 $f (x + 1) + f (1 - x) = 2$ ，则 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 1)$ 中心对称 B、函数 $y = f (x - 1)$ 与 $y = f (1 - x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、若 $g (x + 1) = - g (x)$ ，则函数 $g (x)$ 是周期函数，其中一个周期 $T = 2$ D、若方程 $x - g (f (x)) = 0$ 有实数解，则 $f (g (x))$ 不可能是 $x^{2} + x + 1$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < 0 \\ x^{2} + 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ．

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14. 写出一个定义域为 $R$ 值域为 $[0 ， 1]$ 的函数.

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15. 若 $f (x) = 4 x^{2} - k x + s i n (2 x + φ) ， k \in R ， φ \in (0 ， π)$ 是偶函数，则 $k + φ =$ ．

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16. 在平面直角坐标系中，半径为1的圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于原点 $O$ ，圆 $C$ 上有一定点 $P$ ，坐标是 $(1 ， 1)$ ．假设圆 $C$ 以 $\frac{π}{5}$ （单位长度）/秒的速度沿 $x$ 轴正方向匀速滚动，那么当圆 $C$ 滚动 $t$ 秒时，点 $P$ 的横坐标 $x =$ ．（用 $t$ 表示）

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四、解答题

17. 求解下列问题：

(1)、求值： $2 7^{\frac{2}{3}} + \sqrt{(π - 4)^{2}} + l o g_{2} (4^{7} \cdot 2^{π})$ ；

(2)、已知 $t a n α = 3$ ，求 $\frac{s i n (π - α) + c o s (π + α)}{c o s (2 π - α) - s i n (- α)}$ 的值．

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18. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 与 $β$ 的顶点均为坐标原点 $O$ ，始边均为 $x$ 轴的非负半轴．若点 $P (\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ 在角 $α$ 的终边上，将 $O P$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后与角 $β$ 的终边 $O Q$ 重合．

(1)、直接写出 $β$ 与 $α$ 的关系式；

(2)、求 $c o s (α + β)$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ．

(1)、用定义证明 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 2]$ 上是减函数；

(2)、设 $α \in (0 ， π)$ ，求函数 $f (s i n α)$ 的最小值．

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20. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) + 2 (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小值为1，最小正周期为 $π$ ，且 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ ，求函数 $y = g (x)$ 的单调递减区间．

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21. 为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为 $y = {(\frac{1}{16})}^{x - a}$ （a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)、写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系；

(2)、据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x^{2} - 2)$ ， $g (x) = 2 l o g_{a} (x + t)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

(1)、当 $t = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq g (x)$ 的解集；

(2)、若函数 $F (x) = a^{f (x)} + (t - 2) x^{2} + (1 - 6 t) x + 8 t + 1$ 在区间 $(2 ， 5]$ 上有零点，求实数 $t$ 的取值范围．

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