广东省深圳市南山区2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点坐标是（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(0 ， 2)$

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2. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{c}$ B、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ ， $\vec{a} + \vec{c}$ D、 $\vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{c}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 2$ ，且 $S_{4} = 10$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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4. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3 + k} + \frac{y^{2}}{5 - k} = 1$ 的焦点在 $y$ 轴上，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(1 ， 5)$ C、 $(- 3 ， 5)$ D、 $(1 ， 3)$

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5. 已知 $A (2 ， - 3)$ 、 $B (2 ， 1)$ ，若直线 $l$ 经过点 $P (0 ， - 1)$ ，且与线段 $A B$ 有交点，则 $l$ 的斜率的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2] ∪ [2 ， + \infty)$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 1]$

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6. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = B C$ ，且 $A C ⊥ B C$ ，已知E为BC的中点，则异面直线 $A_{1} C$ 与 $C_{1} E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，以 $| F_{1} F_{2} |$ 为直径的圆与 $C$ 的左支交于 $M$ 、 $N$ 两点，若 $∠ M F_{1} N = \frac{2 π}{3}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 著名的斐波那契数列是意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，又称兔子数列，记该数列为 ${a_{n}}$ ，则 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ，且 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ．已知斐波那契数列有诸多特殊的性质，例如：（1） $a_{n + 1}^{2} = a_{n + 1} a_{n + 2} - a_{n} a_{n + 1}$ ；（2）斐波那契数列中各项的个位数是以 $60$ 为周期变化的，则由上述性质可知 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{365}^{2}$ 的个位数为（）

A、 $6$ B、 $5$ C、 $2$ D、 $0$

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二、多选题

9. 设圆C： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线l： $y = k x + 1 (k \in R)$ ，则下列结论正确的为（）

A、C的半径为2 B、l恒过定点 $(0 ， 1)$ C、l可能与C相切 D、当 $k = 1$ 时，l被C截得的弦长最短

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10. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E$ 、 $F$ 分别为棱 $B_{1} C_{1}$ 、 $B_{1} B$ 的中点，则下列结论正确的为（）

A、 $\vec{A D_{1}} = 2 \vec{E F}$ B、 $\vec{B_{1} D_{1}} \cdot \vec{A C} = 0$ C、 $| \vec{D F} | = 3$ D、 $\vec{D F}$ 为平面 $A C D_{1}$ 的一个法向量

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11. 已知公差为d的等差数列 ${a_{n}}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{10} > 0$ ， $S_{11} < 0$ ，则下列结论正确的为（）

A、 ${a_{n}}$ 为递增数列 B、 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列 C、当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 6$ D、当 $a_{2} = 1$ 时，d的取值范围为 $(- \frac{2}{7} ， - \frac{1}{4})$

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12. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 和 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = λ (λ > 1)$ ，点 $M (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} y_{0} \neq 0)$ 在 $C_{1}$ 上，且直线 $x_{0} x + 4 y_{0} y = 4$ 与 $C_{2}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若点 $N$ 在 $C_{2}$ 上，使得 $\vec{O N} = \vec{O A} + \vec{O B}$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的离心率相等 B、 $λ = 2$ C、直线 $O N$ 、 $A B$ 的斜率之积为定值 D、四边形 $O A N B$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， m ， 6)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{{(- 1)}^{n}}{a_{n}} + 3 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{1} a_{3} =$ ．

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15. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ ，点 $P$ 在直线 $x + y + 2 = 0$ 上运动，过 $P$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，当四边形 $P A C B$ 的面积最小时， $∠ A C B =$ ．

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16. 如图，在直角 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $D$ 为斜边 $A C$ 上异于 $A$ 、 $C$ 的动点，若将 $△ A B D$ 沿折痕 $B D$ 翻折，使点 $A$ 折至 $A_{1}$ 处，且二面角 $A_{1} - B D - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，则线段 $A_{1} C$ 长度的最小值为．

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四、解答题

17. 已知圆 $C_{1}$ 的圆心为 $(- 1 ， 0)$ ，且经过坐标原点O．

(1)、求 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、设圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交，求 $r$ 的取值范围．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{1} = 4$ ， $a_{4} = 1$ ，且 $a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = 0 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = | a_{n} |$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求 $T_{20}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，且 $A B ⊥ A D$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{B C}$ ，已知侧棱 $A P ⊥$ 平面ABCD，设点E为棱PD的中点．

(1)、证明： $C E / /$ 平面ABP；

(2)、若 $A B = A P = A D = 2$ ，求点P到平面BCE的距离．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，且点 $P (\sqrt{3} ， \sqrt{2})$ 在C上．

(1)、求C的方程；

(2)、设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且 $\vec{A F} = 7 \vec{B F}$ ，求l的斜率．

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21. 在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为正方形，侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 为菱形，且平面 $A D D_{1} A_{1} ⊥$ 平面ABCD．

(1)、证明： $A D_{1} ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、设点P在棱 $A_{1} B_{1}$ 上运动，若 $∠ A_{1} A D = \frac{π}{3}$ ，且 $A B = 2$ ，记直线 $A D_{1}$ 与平面PBC所成的角为 $θ$ ，当 $s i n θ = \frac{1}{4}$ 时，求 $A_{1} P$ 的长度．

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22. 已知点 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，定点 $A (1 ， a)$ （其中常数 $a$ 满足 $a^{2} < 2 p$ ），动点 $P$ 在 $C$ 上，且 $| P F | + | P A |$ 的最小值为 $2$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $A$ 作两条斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，记 $l_{1}$ 与 $C$ 的交点为 $B$ 、 $D$ ， $l_{2}$ 与 $C$ 的交点为 $E$ 、 $G$ ，且线段 $B D$ 、 $E G$ 的中点分别为 $M$ 、 $N$ ．
（i）当 $a = 0$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 1$ 时，求 $△ A M N$ 面积的最小值；
（ii）当 $k_{1} + k_{2} = 1$ 时，证明：直线 $M N$ 恒过定点．

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