广东省深圳市龙岗区2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题：“ $\forall x \geq 0, x^{3} + x \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x < 0, x^{3} + x < 0$ B、 $\forall x < 0, x^{3} + x \geq 0$ C、 $\exists x \geq 0, x^{3} + x < 0$ D、 $\exists x \geq 0, x^{3} + x \geq 0$

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2. $s i n 24 0^{∘}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 集合 $A = {x | 3 x - 7 < 8 - 2 x}$ ， $N$ 是自然数集，则 $N ∩ A =$ （）

A、 $[3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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4. 设 $x ∈ R$ ，则 $x^{2} - 4 x + 3 < 0$ 是 $3^{x} < 27$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 当 $a > 1$ 时，在同一平面直角坐标系中， $y = {(\frac{1}{a})}^{x}$ 与 $y = l o g_{a} (- x)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 将函数 $y = 2 c o s (4 x - \frac{π}{3}) + 1$ 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）

A、 $x = \frac{π}{12}$ B、 $x = - \frac{π}{6}$ C、 $x = - \frac{π}{3}$ D、 $x = - \frac{π}{12}$

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7. 设实数 $x$ 满足 $x > 0$ ，函数 $y = 2 + 3 x + \frac{4}{x + 1}$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3} - 1$ B、 $4 \sqrt{3} + 2$ C、 $4 \sqrt{2} + 1$ D、6

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8. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于） $0.2$ 毫克/毫升，小于 $0.8$ 毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于） $0.8$ 毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上 $6$ 点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到 $1$ 毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时 $10 %$ 的速度减少，则他次日上午最早（）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ， $l g 3 \approx 0.477$ ）

A、 $7$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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二、多选题

9. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $| a | > | b |$ B、 $a < b$ C、 $a + b < a b$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{\frac{1}{2}} ， 0 \leq x < 1 \\ {(x - 2)}^{2} ， x \geq 1 \end{array}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (3) = 1$ B、函数 $f (x)$ 是定义域上的增函数 C、函数 $f (x)$ 有 $2$ 个零点 D、方程 $f (x) = x$ 有两个实数解

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11. 函数 $f (x) = s i n (ω x) (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值可能为（）

A、 $6$ B、 $4$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = l g (x^{2} + a x - a)$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为R，则 $- 4 \leq a \leq 0$ B、若 $f (x)$ 的值域为R，则 $a \leq - 4$ 或 $a \geq 0$ C、若 $a = 2$ ，则 $f (x)$ 的单调减区间为 $(- \infty ， - 1)$ D、若 $f (x)$ 在 $(- 2 ， - 1)$ 上单调递减，则 $a \leq \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 若扇形的面积为9，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为．

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + x - 1$ ，则 $f (l o g_{2} \frac{1}{4})$ 的值为.

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15. 若 $t a n α = - \frac{4}{3}$ ，则 $s i n α c o s α =$ ．

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16. 若存在常数 $k$ 和 $b$ ，使得函数 $F (x)$ 和 $G (x)$ 对其公共定义域上的任意实数 $x$ 满足： $F (x) \geq k x + b$ 和 $G (x) \leq k x + b$ 恒成立，则称此直线 $y = k x + b$ 为 $F (x)$ 和 $G (x)$ 的“隔离直线”.已知函数 $f (x) = - x^{2} (x \in R)$ ， $g (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 之间存在隔离直线 $y = - 3 x + b$ ，则实数 $b$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 设 $U = R$ ，已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 5}$ ， $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ．

(1)、当 $m = 4$ 时，求 $∁_{U} (A ∪ B)$ ；

(2)、若 $B ≠ ∅$ ，且 $B ⊆ A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 函数 $f (x) = \sqrt{\frac{6 - x}{3 x - 1}}$ 的定义域为A.

(1)、求A；

(2)、若函数 $g (x) = x^{2} - a x + 1$ 在A上是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < ϕ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，其中 $f (x)$ 的图像与 $x$ 轴的一个交点的横坐标为 $- \frac{π}{12}$ .

(1)、求这个函数的解析式，并写出它的递增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{12}]$ 上的最大值和最小值．

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20. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{1}{3^{x} + 1} - a (a \in R)$ 为奇函数.

(1)、求 $a$ 的值，试判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(2)、若 $f (2 x - 1) < f (x + 3)$ ，求 $x$ 的取值范围.

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21. 济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 $2 \leq t \leq 20$ ，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当 $10 \leq t \leq 20$ 时列车为满载状态，载客量为500人，当 $2 \leq t < 10$ 时，载客量会减少，减少的人数与 $(10 - t)$ 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为 $p (t)$ .

(1)、求 $p (t)$ 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；

(2)、若该线路每分钟的净收益为 $Q (t) = \frac{8 p (t) - 2656}{t} - 60$ （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.

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22. 已知常数 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{1}{2^{x}} + a)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) ≤ 1$ 的解集（用区间表示）；

(2)、若函数 $y = f (x) + 2 x$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

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