广东省深圳市宝安区2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知点 $A (1 ， 0) ， B (2 ， \sqrt{3})$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角是（）

A、 $6 0^{∘}$ B、 $12 0^{∘}$ C、 $3 0^{∘}$ D、 $15 0^{∘}$

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2. “ $5 < m < 7$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{7 - m} + \frac{y^{2}}{m - 5} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $| \vec{A B} - \vec{C B} + \vec{C B_{1}} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）

A、 $a_{n} = (- 1)^{n - 1} + 1$ B、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 2 ， n 为奇数 \\ 0 ， n 为偶数 \end{array}$ C、 $a_{n} = 2 s i n \frac{n π}{2}$ D、 $a_{n} = c o s (n - 1) π + 1$

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5. 在空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O B$ 上，且 $\vec{O M} = 3 \vec{M B}$ ， $N$ 为 $A C$ 的中点，则 $\vec{N M} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$

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7. 若直线 $a x + b y - 1 = 0$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）平分圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是（）

A、2 B、5 C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 已知点 $M ， N$ 是抛物线 $y = 4 x^{2}$ 上不同的两点， $F$ 为抛物线的焦点，且满足 $∠ M F N = \frac{2 π}{3}$ ，弦 $M N$ 的中点 $P$ 到直线 $l ： y = - \frac{1}{16}$ 的距离记为 $d$ ，若不等式 ${| M N |}^{2} \geq λ d^{2}$ 恒成立，则 $λ$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $(- \infty ， 1 + \sqrt{2}]$ D、 $(- \infty ， 3]$

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二、多选题

9. 若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（）

A、 ${| a_{n} |}$ B、 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ C、 ${p a_{n} + q}$ ( $p ， q$ 为常数) D、 ${2 a_{n} + n}$

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10. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为A，B，则有（）

A、公共弦AB所在直线方程为 $x - y = 0$ B、公共弦AB的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、线段AB中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ D、P为圆 $O_{2}$ 上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

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11. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 $F$ 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 $A$ （离地面最近的点）距地面 $m$ 千米，远地点 $B$ （离地面最远的点）距地面 $n$ 千米，并且 $F 、 A 、 B$ 三点在同一直线上，地球半径约为 $R$ 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 $2 a 、 2 b 、 2 c$ ，则（）

A、 $a - c = m + R$ B、 $a + c = n + R$ C、 $2 a = m + n$ D、 $b = \sqrt{(m + R) (n + R)}$

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12. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1} ， A A_{1}$ 的中点， $G$ 为面对角线 $B_{1} C$ 上一个动点，则（）

A、三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的体积为定值 B、线段 $B_{1} C$ 上存在点 $G$ ，使平面 $E F G$ //平面 $B D C_{1}$ C、当 $\vec{C G} = \frac{3}{4} \vec{C B_{1}}$ 时，直线 $E G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的外接球半径的最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为： $a_{n} = | n - \frac{10}{3} |$ ，则 $a_{n}$ 的最小值为，此时 $n$ 的值为.

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14. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，前n项和记作 $S_{n}$ ，若 $S_{15} = 5 (a_{2} + a_{6} + a_{k})$ ，则 $k =$ ．

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若 $| B F_{2} | ： | A B | ： | A F_{2} | = 5 ： 12 ： 13$ ，则 $△ A B F_{2}$ 的面积为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 4$ ， $n a_{n + 1} = 2 (n + 1) a_{n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为，若数列 ${\frac{a_{n}}{(n + 1) (n + 2)}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，则满足不等式 $S_{n} \geq 30$ 的 $n$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知直线 $m ： (a - 1) x + (2 a + 3) y - a + 6 = 0$ ， $n ： x - 2 y + 3 = 0$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，直线 $l$ 过 $m$ 与 $n$ 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若坐标原点O到直线 $m$ 的距离为1，求实数 $a$ 的值．

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18. 如图在边长是2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为AB， $A_{1} C$ 的中点．

(1)、求异面直线EF与 $C D_{1}$ 所成角的大小．

(2)、证明： $E F ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ ．

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19. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $2 S_{n} - a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$ $(n \in$ N $^{*})$ .

(1)、求 $a_{n} + a_{n + 1}$ ；

(2)、令 $b_{n} = a_{n + 2} - a_{n}$ ，证明数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，并求其前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知：圆 $C$ 过点 $D (0, 1)$ ， $E (- 2, 1)$ ， $F (- 1, \sqrt{2})$ ，P是直线 $l_{1} : y = x - 2$ 上的任意一点，直线 $l_{2} : y = x + 1$ 与圆C交于A、B两点.

(1)、求圆C的方程；

(2)、求 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2}$ 的最小值.

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21. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点， $O A ⊥ C D$ .

(1)、证明：平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，点 $E$ 在棱 $A D$ 上， $D E = 2 E A$ ，三棱锥 $B - A C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值.

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22. 在平面直角坐标系中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，焦距为2．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、动直线 $l ： y = m x - \frac{\sqrt{5}}{2}$ 交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为 $n$ ，且 $m n = \frac{1}{2}$ ． T是线段OD延长线上一点，且 $| D T | = \frac{2 \sqrt{21}}{15} | A B |$ ， $⊙ T$ 的半径为 $| D T |$ ， OP，OQ是 $⊙ T$ 的两条切线，切点分别为P，Q，求 $∠ Q O P$ 的最大值．

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