湖北省十七所重点中学2023届高三下学期数学2月第一次联考试卷

试卷更新日期：2023-02-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x} > 2} ， B = {x | x^{2} - 4 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${2}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | 1 < x < 4}$

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2. 设 $c o s x = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (x - \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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3. 函数 $f (x) = l o g_{2} \frac{1}{x}$ 的导函数为（）

A、 $f^{'} (x) = \frac{l n 2}{x}$ B、 $f^{'} (x) = \frac{1}{x l n 2}$ C、 $f^{'} (x) = - \frac{l n 2}{x}$ D、 $f^{'} (x) = - \frac{1}{x l n 2}$

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4. 设复数 $z$ 满足 ${\begin{array}{l} (1 + 2 i) z + (1 - 2 i) \bar{z} = 4 \\ (1 - 2 i) z + (1 + 2 i) \bar{z} = 6 \end{array}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{i}{4}$

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5. 某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量．他们使用一个上底面半径为 $15 c m$ 、下底面半径为 $12 c m$ 、高为 $25 c m$ 的水桶盛接降水．当水桶内盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶总体积的（）

A、 $40 %$ B、 $44 %$ C、 $48 %$ D、 $52 %$

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6. 已知平面非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | 2 \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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7. 设集合 $A = {1 ， 2 ， ⋯ ， 2023} ， S = {(A_{1} ， A_{2} ， ⋯ ， A_{100}) ∣ A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq ⋯ \subseteq A_{100} \subseteq A}$ ，则集合S的元素个数为（）

A、 $C_{2023}^{100}$ B、 $C_{2023}^{101}$ C、 $10 0^{2023}$ D、 $10 1^{2023}$

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8. 设随机变量 $X ∼ B (n ， p)$ ，当正整数n很大，p很小， $n p$ 不大时，X的分布接近泊松分布，即 $P (X = i) \approx \frac{e^{- n p} (n p)^{i}}{i!} (n \in N)$ ．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有 $95 %$ 以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知 $\frac{1}{e} = 0.367879$ …）（）

A、100 B、101 C、102 D、103

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二、多选题

9. 已知递增的正整数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．以下条件能得出 ${a_{n}}$ 为等差数列的有（）

A、 $S_{n} = n^{2} + n (n \in N^{*})$ B、 $S_{n} = n^{2} + 1 (n \in N^{*})$ C、 $a_{n + 2} = a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ D、 $a_{2 n} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$

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10. 已知 $\frac{1 + l n a}{a} = \frac{e^{1 - b}}{b} = \frac{e c - 1}{c} > 0$ ，则（）

A、 $a \geq b$ B、 $b \geq c$ C、 $a \geq c$ D、 $2 b \geq a + c$

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11. 已知 $⊙ P ： x^{2} + (y - 3)^{2} = 9 ， ⊙ Q ： (x - 4)^{2} + y^{2} = 1 ， ⊙ R ： (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ ．点 $A ， B ， C$ 分别在 $⊙ P ， ⊙ Q ， ⊙ R$ 上．则（）

A、 $| A B |$ 的最大值为9 B、 $| A C |$ 的最小值为 $2 - \sqrt{2}$ C、若 $A B$ 平行于x轴，则 $| A B |$ 的最小值为 $4 - \sqrt{5}$ D、若 $A C$ 平行于y轴，则 $| A C |$ 的最大值为 $1 + \sqrt{17}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为2，点P，Q分别在正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 的内切圆，正方形 $C_{1} D_{1} D C$ 的外接圆上运动，则（）

A、 $\vec{P Q} \cdot \vec{C D} \leq 2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $| P Q | \geq \sqrt{3} - \sqrt{2}$ C、 $∠ P A Q > \frac{π}{8}$ D、 $∠ P A Q < \frac{π}{2}$

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三、填空题

13. 已知多项式 $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ 满足对任意 $θ \in R ， f (c o s θ) = 2 c o s 4 θ + c o s 3 θ$ ，则 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} =$ （用数字作答）．

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14. 冰雹猜想是指：一个正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数 $2^{n}$ ，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题．已知正整数列 ${a_{n}}$ 满足递推式 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 3 a_{n} + 1 ， \frac{a_{n}}{2} \notin N^{*} ， \\ \frac{a_{n}}{2} ， \frac{a_{n}}{2} \in N^{*} ， \end{array}$ 请写出一个满足条件的首项 $a_{1} < 50$ ，使得 $a_{10} = 1$ ，而 $a_{i} \neq 1 (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 9)$ ．

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15. 设实数 $a \neq 0$ ，不等式 $\frac{e^{x}}{a} - 2 a x \geq \sqrt{2 e^{x} + 1}$ 对任意实数 $x \geq - \frac{1}{2}$ 恒成立，则a的取值范围为．

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16. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， C的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点A在椭圆C上满足 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{2}$ ． $∠ F_{1} A F_{2}$ 的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知 $\vec{A B} = 2 \vec{B D}$ ，则 $e =$ ．

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四、解答题

17. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D为线段 $A A_{1}$ 的中点，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、若 $A A_{1} = A_{1} B_{1}$ 证明： $A_{1} C ⊥ B_{1} D$ ；

(2)、求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积与表面积之比的最大值．

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18. 为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 20)$ ，部分数据如下：
x
…
2.7
3.6
3.2
…
y
…
57.8
64.7
62.6
…
经计算得： $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 60 ， \sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 1200 ， \sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 80 ， \sum_{i = 1}^{20} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 640$ ．

(1)、利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；

(2)、该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系 $x O y$ 下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，
（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；
（ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．
附：y关于x的回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $c^{2} = \sqrt{2} a b$ ．

(1)、求 $c o s C$ 的最小值；

(2)、证明： $C - A \leq \frac{π}{6}$ ．

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20. 设点A为双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左顶点，直线l经过点 $(- 1 ， 2)$ ，与C交于不与点A重合的两点P，Q．

(1)、求直线 $A P ， A Q$ 的斜率之和；

(2)、设在射线 $A Q$ 上的点R满足 $∠ A P Q = ∠ A R P$ ，求直线 $P R$ 的斜率的最大值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足：
①对任意质数p和自然数n，都 $a_{p^{n}} = n + 1$ ；
②对任意互质的正整数对 $(m ， n)$ ，都有 $a_{m n} = a_{m} a_{n}$ ．

(1)、写出 ${a_{n}}$ 的前6项，观察并直接写出 $a_{n}$ 与能整除n的正整数的个数的关系 $(n \in N^{*})$ ；

(2)、设数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{5}{3} (n \in N^{*})$ ．

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22. 已知直线l与曲线 $y = l n^{2} x$ 相切于点 $(x_{0} ， l n^{2} x_{0}) (x_{0} > e)$ ．证明：

(1)、l与曲线 $y = l n^{2} x$ 恰存在两个公共点 $(x_{0} ， l n^{2} x_{0}) ， (x_{0}^{'} ， l n^{2} x_{0}^{'}) (x_{0}^{'} < x_{0})$ ；

(2)、 $2 x_{0} + x_{0}^{'} > 3 e$ ．

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x	…	2.7	3.6	3.2	…
y	…	57.8	64.7	62.6	…