河南省平许济洛2022-2023学年高三理数第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2023-02-20 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x {| 1 \leq (\frac{1}{2})}^{x} \leq 2}$ ， $B = {x | - 2 < x \leq 1}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1]$ D、 $(- 2 ， - 1) \cup (0 ， 1]$

查看试题解析
2. 已知复数 $z = 1 - i$ ，则 $\frac{1}{z^{2} + 2 z}$ 的实部为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $- \frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

查看试题解析
3. 从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为 $a ， b$ ，共可得到 $l g a - l g b$ 的不同值的个数是（）

A、6 B、8 C、12 D、16

查看试题解析
4. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{2} + 4$ 是 $a_{1} ， a_{3}$ 的等差中项，则 $a_{4} =$ （）

A、16 B、27 C、32 D、54

查看试题解析
5. 已知点 $F$ 是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点，点 $P$ 是双曲线上位于第一象限内的一点，且 $P F$ 与 $x$ 轴垂直，点 $Q$ 是双曲线渐近线上的动点，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3} - \frac{3}{2}$ C、 $1 + \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3} + \frac{3}{2}$

查看试题解析
6. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、8 C、 $\frac{28}{3}$ D、10

查看试题解析
7. 已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} + x ， x < 0 \\ s i n (ω x - \frac{π}{4}) ， 0 \leq x \leq π \end{array}$ 有4个不同的零点，则正实数 $ω$ 的范围为（）

A、 $(\frac{9}{4} ， \frac{13}{4})$ B、 $[\frac{9}{4} ， \frac{13}{4})$ C、 $(\frac{9}{4} ， \frac{13}{4}]$ D、 $[\frac{9}{4} ， \frac{13}{4}]$

查看试题解析
9. 在 $△ A B C$ 中，点 $E$ 为 $A C$ 的中点， $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ， $B E$ 与 $C F$ 交于点 $P$ ，且满足 $\vec{B P} = λ \vec{B E}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n x + a c o s x$ 满足： $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ .若函数 $f (x)$ 在区间 $[x_{1} ， x_{2}]$ 上单调，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则当 $| x_{1} + x_{2} |$ 取得最小值时， $c o s (x_{1} + x_{2}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
11. 在正项数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 1$ ，记 $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1) (a_{n} + a_{n + 1})}$ ．整数 $m$ 满足 $l g (1 0^{119} + 1) < m < l g (1 0^{120} + 1)$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前 $m$ 项和为（）

A、 $\frac{5}{11}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{9}{22}$ D、 $\frac{11}{24}$

查看试题解析
12. 若函数f（x）的定义域为R，且f（2x＋1）为偶函数，f（x－1）的图象关于点（3，3）成中心对称，则下列说法正确的个数为（）
① $f (x)$ 的一个周期为2 ② $f (22) = 3$
③ $\sum_{i = 1}^{19} f (i) = 57 (i \in N)$ ④直线 $x = 4$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析

二、填空题

13. 曲线 $y = (a x + 2) e^{x}$ 在点 $(0 ， 2)$ 处的切线的斜率为 $- 2$ ，则 $a =$ .

查看试题解析
14. ${(1 + \sqrt{x})}^{4} {(1 - \sqrt{x})}^{6}$ 的展开式中x的系数为．

查看试题解析
15. 过原点且相互垂直的两条直线分别交抛物线 $x^{2} = 2 y$ 于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点到直线AB的最大距离为．

查看试题解析
16. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面ABC⊥平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，平面 $B C C_{1} B_{1}$ ⊥平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，侧棱 $C C_{1}$ 与底面所成的角为 $60 °$ ， $A B = 4 ， A A_{1} = 2$ ， D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，二面角 $A_{1} - A C - B$ 的正切值为 $2 \sqrt{3}$ ，则四棱锥 $C - A A_{1} D B$ 的外接球的表面积为．

查看试题解析

三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $c o s A + \sqrt{3} s i n A = \frac{a + b}{c}$ ．

(1)、求角C；

(2)、若c=4，△ABC的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求a，b．

查看试题解析
18. 相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图．
若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为”健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有 $\frac{5}{6}$ 是“年轻人”．

(1)、现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全下方2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？

年轻人
非年轻人
合计
健身达人
健身爱好者
合计
附：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(2)、将（1）中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

查看试题解析
19. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°， $P A = P D = \sqrt{5}$ ， AB＝2，M为PC上一点，且 $\vec{P M} = 3 \vec{M C}$ ．

(1)、求异面直线AP与DM所成角的余弦值．

(2)、在棱PB上是否存在点N，使得 $A N / /$ 平面BDM？若存在，求 $\frac{P N}{P B}$ 的值；若不存在，说明理由．

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为C的左、右焦点，点P（不在x轴上）在C上运动，且 $c o s ∠ F_{1} P F_{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，记 $△ F_{1} M N$ 的内切圆的半径为r，求r的取值范围.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - e$ （ $e$ 是自然对数的底数）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - k \ln x$ 有且仅有两个不同的零点，求实数 $k$ 的取值范围．

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $M$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{5} c o s θ \\ y = 1 + \sqrt{5} s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数， $θ \in [0 ， 2 π)$ ，直线 $l_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \\ y = t a n α \cdot t \end{array}$ （ $t$ 为参数， $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ），直线 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，垂足为 $O$ .以 $O$ 为坐标原点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、分别写出曲线 $M$ 与直线 $l_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、设直线 $l_{1}$ ､ $l_{2}$ 分别与曲线 $M$ 交于 $A$ ､ $C$ 与 $B$ ､ $D$ ，顺次连接 $A$ ､ $B$ ､ $C$ ､ $D$ 四个点构成四边形 $A B C D$ ，求 $A B^{2} + B C^{2} + C D^{2} + D A^{2}$ .

查看试题解析
23. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，

(1)、已知 $a ， b ， c$ 是正实数，且 $f (1) = 1$ ，求证： $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \sqrt{3}$ ；

(2)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) \geq 2 a x + b$ 恒成立，求 $\frac{b^{2}}{a^{2} + c^{2}}$ 的最大值.

查看试题解析

	年轻人	非年轻人	合计
健身达人
健身爱好者
合计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828